Compacto Métrica Espacios y Divisibilidad de las $C(X,\mathbb{R})$

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto. Mostrar que $C(X,\mathbb{R})$ es un espacio métrico separable (espacio de funciones continuas de$X$$\mathbb{R}$).

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Primero me mostró que si $(X,d)$ es compacto, entonces debe ser separables, por lo que tenemos un subconjunto denso $\{x_{1},x_{2},...\}$ que es contable de $X$. Entonces, yo no estoy tan seguro acerca de cómo avanzar. Yo estaba pensando en usar la Piedra Teorema de Weierstrass para el conjunto de las funciones:

$F=\{1,f_{1},f_{2},...\}$

Donde$f_{n}(x)=d(x,x_{n})$$x \in X$. Entonces, esto implica que el anterior conjunto es denso en $C(X,\mathbb{R})$ y contables, por lo $C(X,\mathbb{R})$ es separable si $F$ es unital la separación de subalgebra.

Claramente $F$ es unital, pero no estoy seguro sobre cómo mostrar es la separación y una subalgebra de $C(X,\mathbb{R})$ (que es un subconjunto de la anterior serie desde la distancia de la función es continua). ¿Cómo proceder con este paso?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Deje $F$ como usted dijo. Deje $\mathbb R[F]$ $\mathbb R$- subalgebra generado por $F$.

Queremos utilizar la Piedra-teorema de Weierstrass en el segundo (en lugar de $F$) y muestran que es denso. Esto será suficiente para una prueba de que $C(X,\mathbb R)$ es separable, ya que $\mathbb Q[F]$ es contable y denso en $\mathbb R[F]$.

$\mathbb R[F]$ contiene $1$ y es, obviamente, un álgebra. Vamos a demostrar que separa puntos.

Deje $x\ne y\in X$. Desde $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}$ es densa, no debe existir $x_m$ tal que $d(x,x_m)\le \frac13 d(x,y)$. A la fuerza, no se puede sostener $d(y,x_m)=d(x,x_m)$. Si se celebra, a continuación, $$d(x,y)\le d(x,x_m)+d(y,x_m)\le \frac23 d(x,y)$ $ absurdo. Así que la función $f_m$ separa $x$$y$.

Stone-Weierstrass por lo tanto puede ser utilizado en $\mathbb R[F]$, completando la prueba.

Precisations:

1. Cómo es $\mathbb R[F]$ definido? La intersección de todos los $\mathbb R$-subalgebras de $C(X,\mathbb R)$ que contengan $F$ o, de manera equivalente, como la $\mathbb R$-subespacio vectorial de $C(X,\mathbb R)$ generado por los productos de finitley muchos de los elementos de $F$.

2. Cómo es $\mathbb Q[F]$ definido? La intersección de todos los $\mathbb Q$-subalgebras de $C(X,\mathbb R)$ que contengan $F$ o, como en el anterior, el $\mathbb Q$-subespacio vectorial de $C(X,\mathbb R)$ generado por los productos de un número finito de elementos de $F$.

3. ¿Por qué es $\mathbb Q[F]$ denso en $\mathbb R[F]$? Es bastante fácil, en realidad, pero la notación es un poco tedioso.

   Si $g\in\mathbb R[F]$, entonces no existe $k\in\mathbb N,\ g_1, \cdots, g_k\in F$ y un finito set $S\subseteq \mathbb N^k$ tal que $$g=\sum_{(n_1,\cdots,n_k)\in S} \lambda_{n_1,\cdots,n_k}g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}$$ for some $\lambda_{n_1,\cdots,n_k}\in\mathbb R$.

   Ahora, si usted aproximado de cada una de las $\lambda_{n_1,\cdots,n_k}$ con racionales $$\alpha_{n_1,\cdots,n_k}^{(t)}\stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow}\lambda_{n_1,\cdots,n_k}$$ y llame a $$g^{(t)}=\sum_{(n_1,\cdots,n_k)\in S} \alpha^{(t)}_{n_1,\cdots,n_k}g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}\in\mathbb Q[F]$$ consigue $$\Vert g-g^{(t)}\Vert_\infty=\left\Vert \sum_{(n_1,\cdots,n_k)\in S} (\lambda_{n_1,\cdots,n_k}-\alpha_{n_1,\cdots,n_k}^{(t)})g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}\right\Vert_\infty\le\\\le \left(\sum_{(n_1,\cdots,n_k)\in S}\Vert g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}\Vert_\infty\right)\cdot\max_{(n_1,\cdots,n_k)\in S}\left\vert\lambda_{n_1,\cdots,n_k}-\alpha^{(t)}_{n_1,\cdots,n_k}\right\vert\stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow}0$$