Correspondencia entre modos de convergencia y métricas

Question

Si $\mu(X)<\infty$ entonces la métrica $$\rho(f,g)=\int \frac{|f-g|}{1+|f-g|}$$ forma una métrica en el espacio de funciones medibles $f,g:X\rightarrow \mathbb{C}$ cuando equivalencia fuera a.e. función igual. Entonces podemos demostrar que $f_n \rightarrow f$ en $\rho$ sólo si $f_n \rightarrow f$ en medida.

¿Podemos encontrar una métrica para la convergencia en medida cuando $\mu(X) = \infty$ ? Siempre he pensado que la convergencia se define con respecto a alguna métrica, por lo que me resultaría extraño ver que la convergencia en la medida no procede de una métrica.

Answer 1

No es una respuesta a su pregunta, pero sólo quería abordar el último punto de la suya

Siempre he pensado que la convergencia se define con respecto a alguna métrica, así que me resultaría extraño ver que la convergencia en la medida no procede de una métrica.

En realidad, la convergencia suele estar relacionada con la topología, más que con la métrica. Por ejemplo, la topología de convergencia puntual de funciones sobre $[0,1]$ no es compatible con ninguna métrica. Sin embargo, si echamos un vistazo a cómo se introduce veremos que requerimos $f_n(x)\to f(x)$ para cualquier $x\in[0,1]$ y esta última convergencia sí puede caracterizarse por una métrica, por ejemplo la euclediana. Lo que quiero decir es que, aunque algunas de las nociones de convergencia vienen naturalmente a través de la métrica (una noción más intuitiva que una topología, tal vez), cuando tales nociones se elevan a otro nivel (de puntos a función como arriba) la caracterización por una métrica puede no ser válida para el nuevo espacio topológico.

La noción de convergencia en la medida, creo, se introdujo sin tener en cuenta alguna métrica específica que la caracterizara. En cierto modo, hay ciertas similitudes con el ejemplo de la convergencia puntual. En concreto, se utiliza la métrica sobre los valores reales para hablar de las distancias $|f_n(x) - f(x)|\geq \delta$ pero también quieres saber cuántos puntos tienen sus imágenes $\delta$ -lejos, eso es lo que es $\mu(x:|f_n(x) - f(x)|\geq \delta)$ . Si piensa en $f_n$ como una aproximación más simple de $f$ puede utilizar $f_n$ para realizar, por ejemplo, cálculos aproximados para $f$ . Sin embargo, en tal caso, le gustaría asegurarse de que, independientemente del nivel de precisión elegido $\delta$ para cualquier $\varepsilon$ existe $n$ tras lo cual $f_n$ aproximado $f$ lo suficientemente bueno, es decir $$ \lim_{n\to\infty}\mu(x:|f_n(x) - f(x)|\geq \delta) = 0,\quad \forall \delta>0. $$ Aunque en algunos casos, por ejemplo $\sigma$ -medidas finitas, o la medida de conteo, la convergencia en medida en metrizable, no me sorprendería que no fuera el caso en general.

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