Referencia sobre topología geométrica

Question

La topología geométrica está más motivada por los objetos sobre los que quiere demostrar teoremas. La topología geométrica está muy motivada por los fenómenos de baja dimensión, y la propia noción de que los fenómenos de baja dimensión son especiales se debe a la existencia de una gran herramienta llamada el truco de Whitney, que permite convertir fácilmente ciertos problemas de la teoría de variedades en problemas algebraicos (a veces bastante complicados). La cuestión es que el truco de Whitney falla en dimensiones 4 e inferiores.

En cuanto a mi formación, he aprendido el libro de Boothby "An Introduction to Differential Manifolds ...". Recientemente quiero profundizar en Topología Geométrica. Pero he encontrado que la literatura es bastante confusa. ¿Podría alguien sugerirme un libro de texto o al menos una secuencia de libros y artículos que lleven a la frontera de este campo?

Answer 1

El libro de Stillwell Topología clásica y teoría combinatoria de grupos es un buen punto de partida para familiarizarse con las técnicas de la topología geométrica. Si quiere iniciarse en el mundo de la $4$ -manifolds, hay un gran libro llamado El salvaje mundo de $4$ -manifolds de Scorpan, que podría servirle de fuente para consultar otros documentos. Para $3$ dimensiones, empezaría a aprender algo de teoría de nudos. Hay muchos libros buenos al respecto.

En general, necesitarás saber topología algebraica, aunque sólo te interese el lado geométrico de las cosas. En mi opinión, el libro de Hatcher Topología algebraica realiza un magnífico trabajo explicando el tema sin perder de vista la intuición geométrica.

Answer 2

Esta respuesta pretende complementar la de Jim.

Guillemin y Pollack Topología diferencial El texto es un gran comienzo que no está demasiado especializado en ninguna dirección en particular. Una vez que se tienen unos conocimientos básicos de topología algebraica, se pueden empezar a relacionar muchas nociones básicas a través de Guillemin y Pollack (dualidad de Poincare, teoría de la intersección).

Gran parte de la topología geométrica está motivada o informada por construcciones de la teoría general de los múltiples. Milnor Teoría Morse es una excelente lectura una vez terminados Guillemin y Pollack. Aprender un poco de los fundamentos de los grupos de Lie sería bueno en esta etapa. A partir de ahí, estarás preparado para cosas como el teorema de la incrustación fuerte de Whitney y el teorema del h-cobordismo. Kosinski Colectores diferenciales y el libro de Milnor Conferencias sobre el teorema del h-cobordismo son un muy buen par de libros para leer en ese momento.

Para iniciarse en la teoría de los nudos, soy un gran admirador del libro de Rolfsen Nudos y enlaces . Es un gran libro para el autoaprendizaje, ya que hay montones de cálculos para el lector. Los apuntes de Hatcher sobre los 3-manifolds te ayudarán a empezar con la teoría básica de los 3-manifolds. El libro de Thurston Geometría y topología tridimensionales seguido de Geometría y topología de 3-manifolds te iniciará en la teoría de los 3-manifoldes. El nuevo libro de Bonahon Geometría de baja dimensión es similar al libro de Thurston, pero quizá un poco más amable con el lector. Para 4-manifolds, Kirby's La topología de los 4-manifolds es un buen comienzo. Gompf y Stipsicz 4-manifolds y cálculo de kirby te pone en marcha a partir de ahí.

Answer 3

Aquí hay un buen curso de Jacob Lurie:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/937.html