He escrito el siguiente sistema DE $$\dot{x} = x+y-x(x^2+y^2)\\ \dot{y} = -x+3y-y(x^2+y^2) $$ de la siguiente manera en forma polar: $$\dot{r} = -2r\cos^2\theta+r(3-r^2) $$ $$\dot{\theta} = 2\sin\theta\cos\theta-1$$ Lo que me pregunto es si también podría encontrar todos los puntos críticos de este sistema estableciendo $\dot{\theta}$ y $\dot{r}$ ¿igual a cero? Dado que estos dos sistemas son en realidad equivalentes entre sí esto me pareció algo lógico y al mismo tiempo encontrar los puntos críticos mediante la fijación de $\dot{x}$ y $\dot{y}$ igual a cero parece mucho más tedioso en este estado.
Resolución de $\dot{\theta}=0$ conduce a $2\sin\theta\cos\theta = 1$ que es lo mismo que $\sin2\theta=1$ que conduce a $\theta = \frac{\pi}{4}$ o $\theta = -\frac{3\pi}{4}$ . Sustituyéndolos por $\dot{r}$ conduce a: $$-2r\cos^2\theta+r(3-r^2) = -2r(\pm\frac{\sqrt{2}}{2})^2 +r(3-r^2)=r(2-r^2)$$ Así que $\dot{r}=0$ si $r=0$ o $r^2=2$ . Esto nos lleva a los siguientes puntos críticos: $(0,0)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ . Sin embargo lo que me fastidia es que introduciendo estos puntos en el sistema no polar no se consigue $\dot{x}=\dot{y}=0$ para $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ .
¿Qué me estoy perdiendo? ¿Es toda la idea de tratar de encontrar puntos críticos a través de poner $\dot{\theta}$ y $\dot{r}$ ¿igual a cero imprudente? Cualquier ayuda o sugerencia al respecto será muy apreciada.
