Una forma débil de la conjetura de Borsuk

Question

Problema: Sea P ser un d -con n facetas. ¿Es siempre cierto que P puede estar cubierto por n ¿conjuntos de menor diámetro?

Antecedentes y motivación

La conjetura de Borsuk (refutada en 1993) afirmaba que todo conjunto de diámetro 1 en $R^d$ puede estar cubierto por $d+1$ conjuntos de menor diámetro. Puesto que cada $d$ -poliope tiene al menos $d+1$ facetas nuestra propuesta es, de hecho, una afirmación más débil.

Mi motivación para esta pregunta procede del documento Formulaciones semidefinidas ampliadas: Separación exponencial y límites inferiores fuertes por Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary y Ronald de Wolf. El artículo resuelve una vieja conjetura de Yannakakis sobre las proyecciones de los politopos y muestra, en particular, que el $n$ -no puede describirse como una proyección de un politopo con sólo un número polinómico (en $n$ ) de las facetas.

Otra prueba de este resultado de Fioroni et als. (relativo a los politopos de corte) se seguirá de una respuesta afirmativa de un ligero refuerzo del problema propuesto:

Problema: Si $P$ es un $d$ -de diámetro 1 con $n$ facetas entonces $P$ puede estar cubierto por $n$ conjuntos de diámetro $1-\epsilon$ donde $\epsilon$ puede depender de $n$ (pero no en $P$ .)

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino más bien algunos comentarios/preguntas relacionados, que son difíciles de encajar en comentarios "adecuados".

Hay politopos $P$ que son muy fáciles de cubrir, por ejemplo, tomar $P$ a regular $d$ -(por tanto $n=2d$ ). En puede ser cubierto por sólo 2 cuerpos de menor diámetro: toma un hiperplano paralelo a un par de facetas opuestas, justo en medio de ellas. Corta $P$ en dos mitades, de menor diámetro, al cortar cada "diagonal más larga" de $P$ .

Así que el 1ª pregunta: ¿cuáles son los ejemplos para los que más de 2 (variaciones: más de una constante, o más de $d+1$ ) ¿se necesitan piezas?

La observación anterior para el hipercubo también parece indicar que si sólo se tiene una diagonal más larga, funciona un argumento similar: basta con tomar un hiperplano que lo corte, ortogonalmente, por el medio. (Y así casi todos los politopos necesitan sólo 2 partes). Esto dice que el conjunto de las diagonales más largas es algo que hay que investigar. Se podría intentar argumentar que cortarlos todos con pocos hiperplanos es posible.

Así, 2ª pregunta : ¿se puede suponer que cada vértice tiene al menos una diagonal más larga? Parece que podría ser suficiente para mirar el casco convexo de vértices en al menos una diagonal más larga.