He estado haciendo algunos excersices sobre producto interior y he encontrado algo interesante pero no se si mi planteamiento es correcto del todo.
Supongamos que ${v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}}$ es una base para un espacio vectorial V sobre $\mathbb{R}$ con un producto interior real $<. , .>$ para cualquier conjunto de ${r_{1}, r_{2}, ..., r_{n}}R$ existe un único $wV$ tal que: $<v_{i}, w> = r_{i}$
Empecé demostrando la unicidad: supongamos que existe $w,uV$ tal que $<v_{i}, u> = <v_{i}, w> = r_{i}$ para cada $i=1,2,...,n$ y dado ${r_{1}, r_{2}, ..., r_{n}}R$ . Desde ${v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}}$ es una base para V, podemos escribir:
$u = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + ... + a_{n}v_{n}$
$w = b_{1}v_{1} + b_{2}v_{2} + ... + b_{n}v_{n}$
Para únicos $b_{1},a_{1},b_{2},a_{2},...,b_{n},a_{n}\mathbb{R}$
Es fácil darse cuenta de ello, $<v_{i}, u - w> =0$ para $i =1,2,...,n$ y si $zV$ es un vector distinto de cero, he descubierto que $<z, u - w> = 0$ y por lo tanto $u-w = 0$
Ahora, tenemos que demostrar la existencia. Podemos escribir la hipótesis de la siguiente manera: sea $A =( a_{i,j} )$ sea una matriz nxn tal que $a_{i,j} = <v_{i},v_{j}>$ y que $ \begin{align} r &= \begin{bmatrix} r_{1} \\ r_{2} \\ \vdots \\ r_{n} \end{bmatrix} \end{align}$
Y considere la $Ax = O$ sistema de ecuaciones, ya que tiene solución $x = O$ por la prueba anterior, $x = O$ es la única solución y por lo tanto, las columnas de A son linealmente independientes, ya que A tiene n columnas entonces estas columnas abarcan $\mathbb{R}^n$ .
Por lo tanto, podemos escribir $r$ como una combinación lineal de las columnas de A, y es decir, teniendo una solución para $Ax = r$ escribimos la forma explícita de las ecuaciones y utilizamos la propiedad bilineal de $<.,.>$ para averiguar que los componentes de $x$ son los componentes del $w$ que queríamos encontrar.
Mi pregunta es: si suponemos que $Ax = b$ tiene soluciones únicas para cualquier $b$ y $A$ es una matriz nxn, entonces $Ax = b$ tiene solución para cualquier $b\mathbb{R}^n$ . ¿Es correcto?
