¿De cuántas maneras puede $6$ rojo y $6$ las bolas azules se distribuyan entre $10$ personas de forma que cada persona reciba al menos una bola?

Question

¿De cuántas maneras puede $6$ rojo y $6$ las bolas azules se distribuyan entre $10$ personas de forma que cada persona reciba al menos una bola (las bolas del mismo color son idénticas).

Mi intento

Parece que hay demasiados casos que debemos considerar. No se ha encontrado el enfoque correcto.

Answer 1

Para cada combinación $r$ sea el número de personas que tienen al menos una bola roja. Tenemos $4 \leq r \leq 6$ . Existen $\binom{10}{r}$ formas de seleccionar $r$ personas y $\binom{6-1}{r-1}$ formas de distribuir el $6$ bolas rojas al $r$ personas seleccionadas para que cada una tenga al menos una. Para el resto $10 - r$ personas, deben tener al menos $1$ bola azul. Por lo tanto, hay $6 - (10 - r) = r - 4$ bolas azules restantes y hay $\binom{(r-4) + 10-1}{10-1}$ formas de distribuir el $r-4$ bolas azules al $10$ personas. Concluimos $$ \sum_{r=4}^6 \binom{10}{r}\cdot\binom{5}{r-1}\cdot\binom{r + 5}{9} $$

Answer 2

He aquí una solución mediante el Principio de Inclusión / Exclusión (PIE).

Supongamos que ignoramos, por ahora, la restricción de que cada persona debe obtener al menos una bola. Entonces, por un argumento de barras y estrellas, hay $\binom{10+6-1}{6}$ maneras de distribuir las seis bolas rojas entre las diez personas, y lo mismo para las seis bolas azules. Como podemos distribuir las bolas rojas y azules de forma independiente, el número de formas de distribuir tanto las bolas rojas como las azules entre las personas es $N = \binom{10+6-1}{6}^2$ .

Ahora hay que hacer frente a la restricción de que cada persona debe conseguir al menos una bola. Digamos que una distribución de las bolas tiene la "Propiedad $i$ " si el $i$ a persona no recibe bolas, por $i=1,2,3,\dots,10$ y que $S_j$ sea el número de distribuciones con $j$ de las propiedades, para $j=1,2,3,\dots,10$ . Entonces $$\begin{align} S_1 &= \binom{10}{1} \binom{9+6-1}{6}^2 \\ S_2 &= \binom{10}{2} \binom{8+6-1}{6}^2 \\ S_3 &= \binom{10}{3} \binom{7+6-1}{6}^2 \\ &\dots \\ S_9 &= \binom{10}{9} \binom{1+6-1}{6}^2 \end{align}$$

Por PIE, el número de distribuciones sin ninguna de las propiedades, es decir, el número de distribuciones en las que cada persona recibe al menos una bola, es $$N_0 = N - S_1 + S_2 - S_3 + \dots - S_9 =26,250$$

Answer 3

Existen los siguientes casos.

1. una persona recibe tres bolas del mismo color, todos los demás reciben una bola
2. una persona recibe tres bolas, dos de las cuales son del mismo color, todos los demás reciben una
3. dos personas reciben dos bolas, todas del mismo color
4. dos personas reciben cada una una bola roja y una azul, todos los demás reciben una
5. una persona recibe dos bolas del mismo color, otra recibe una bola roja y otra azul
6. una persona recibe dos bolas rojas, otra recibe dos bolas azules

Por ejemplo, el caso 6 da como resultado $\binom{10}2\times\binom 84\times 2$ diferentes maneras, porque hay $\binom{10}2$ formas de elegir a las dos personas que reciben dos bolas, $2$ maneras de elegir cuál de ellas recibe bolas azules y cuál rojas, y luego $\binom 84$ maneras de elegir cuál de las $8$ la gente se $4$ bolas rojas restantes. Puedes hacer los otros casos de forma similar y sumarlos.