¿Esta métrica en el espacio de probabilidad genera la topología débil*?

Question

Sea $\Omega$ sea un espacio métrico compacto y $\mathscr{P}(\Omega,\mathcal{F})$ el espacio de todas las medidas de probabilidad definidas en $\sigma$ -campo Borel de $\mathbb{X}$ . $UC(\Omega,\mathbb{R})$ representa el espacio de todas las funciones continuas acotadas de valor real sobre $\Omega$ .

Una métrica para $\mathscr{P}(\Omega,\mathcal{F})$ es

$$d(\mu,\nu)=\sum_{\varphi_n\in\mathcal{A}}\frac{1}{2^n}\left|\int_\Omega \varphi_n \;d\mu -\int_\Omega \varphi_n \;d\nu \right|$$

donde $\mathcal{A}$ es un conjunto contable y denso de funciones en $UC(\Omega,\mathbb{R})$ . La simetría y la desigualdad del triángulo pueden verificarse fácilmente. Para comprobar $d(\mu,\nu)=0 \Leftrightarrow \mu=\nu$ utilizamos el teorema de Riesz-Markov.

Pregunta: ¿Cómo podemos demostrar que esta métrica genera la w topología en $\mathscr{P}(\Omega,\mathcal{F})$ ?

Answer 1

Hay un hecho bastante general que podría revelar un patrón general aquí.

Sea $(X,\tau)$ sea un espacio topológico compacto. Sea $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ sea una secuencia acotada en $(C(X),\Vert\cdot\Vert_\infty)$ puntos de separación de $X$ . Entonces $X$ es una vía metrizable distancia $$d: X\times X\to\mathbb{R}_+:(p,q)\mapsto\sum\limits_{n=1}^\infty2^{-n}|f_n(p)-f_n(q)|$$ De hecho, la topología $\tau_d$ inducida por la métrica $d$ coinciden con la topología original $\tau$ . Para una demostración elegante, véase la sección 3.8 del Análisis funcional de Rudin.

Ahora puede aplicar este resultado general a su situación. El papel de $(X,\tau)$ es interpretado por $\mathscr{P}(\Omega,\mathcal{F})$ con débil- $^*$ topología. Como señaló Davide Giraudo se trata de un espacio topológico compacto. Lo único que había que comprobar es que $\{\varphi_n:n\in\mathbb{N}\}$ separa puntos en $\mathscr{P}(\Omega,\mathcal{F})$ . No es difícil.

Answer 2

El resultado definitivo en esta dirección es el hecho de que el espacio de métricas de probabilidad sobre un espacio pulido es también un espacio pulido en la topología anterior (recuérdese que un espacio pulido es un espacio métrico completo y separable). Esto se puede encontrar en el libro de Kechris sobre topoogía descriptiva.