¿Cuándo un homomorfismo es factor a través de un grupo libre?

Question

Sea $f\colon\thinspace G\to H$ sea un homomorfismo suryectivo de grupos finitamente generados. ¿Existe algún método para decidir si $f$ factores a través de un grupo libre? Es decir, ¿existe un grupo libre $F$ y homomorfismos $g\colon\thinspace G\to F$ y $h\colon\thinspace F\to H$ tal que $f=h\circ g$ ?

Conozco una condición necesaria, dada por la cohomología. Si $f$ factores a través de un grupo libre entonces $f^*\colon\thinspace H^i(H;M)\to H^i(G;M)$ es cero para todo $i>1$ y todos $H$ -módulos $M$ (ya que los grupos libres tienen dimensión cohomológica uno).

Esta pregunta se inspira en la obra de Tom Goodwillie responder a mi anterior pregunta sobre la dimensión cohomológica de los homomorfismos de grupo .

Answer 1

$f: G \to H$ factores a través de un grupo libre si existe un subgrupo $N \le \operatorname{ker}(f)$ y un grupo libre $F$ tal que $G = N \rtimes F\;\;$ ( $N$ normal ).

Prueba: $(\Rightarrow)$ Sea $G \xrightarrow{g} E \xrightarrow{} H$ sea una factorización de $f$ con $E$ libre y deja $N$ sea el núcleo de $g$ . Claramente $N \le \operatorname{ker}(f)$ y como subgrupo de un grupo libre, $F := G/N$ es libre. Así pues, tenemos una extensión $1 \to N \to G \to F \to 1$ que se divide desde $F$ es gratis.

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $N\le \operatorname{ker}(f)$ y $G = N \rtimes F$ con $F$ libre. De ahí $N$ es normal en $G$ y porque $N \le \operatorname{ker}(f)$ , $f$ tiene una factorización $G \to G/N=F \to H$ a través de un grupo libre.

Observación: Que $f$ es suryectiva no se utilizó. Pero si sabemos que $f$ es suryectiva, podemos concluir que el rango de $F$ es mayor o igual que el número mínimo de generadores de $H$ .

Answer 2

Incluso en casos especiales tu pregunta parece muy difícil. Permítame mencionar sólo un caso muy especial, es decir, el caso en que $H=G/[G,G]$ es la abelianización de $G$ y $f\colon G\to H$ es la proyección natural. En este caso, su problema se reduce a la cuestión de si $corank(G)=b_1(G)$ donde $corank(G)$ es, por definición, el rango máximo de un grupo libre que es cociente de $G$ y $b_1(G)$ es el primer número de Betti de $G$ es decir, el rango de $H$ .

No es difícil demostrar que, si $H$ tiene torsión, entonces $f$ no puede ser factor a través de un grupo libre. Sin embargo, si $H$ es libre, entonces la situación es bastante complicada. Por ejemplo, si $G$ es el grupo fundamental de un complemento de enlace, entonces $corank(G)=b_1(G)$ si y sólo si el enlace es un enlace de límite de homología.

En principio, los resultados de Makanin sobre ecuaciones en grupos libres muestran que, si una presentación finita de $G$ existe un algoritmo que decide si $corank(G)=b_1(G)$ o no. Sin embargo, estos algoritmos no pueden explotarse en la práctica ni siquiera cuando se trata de presentaciones muy cortas. Por otra parte, los obstáculos computables (no completos) a la igualdad $corank(G)=b_1(G)$ puede obtenerse mediante el análisis de los invariantes del módulo de Alexander de $G$ . Se pueden encontrar varios resultados en este sentido en el libro "Algebraic invariants of links" de J.A. Hillman.