la prueba de la regla de l'Hôpital

Question

Nunca he trabajado fuera de la general de la prueba de l'Hôpital antes, y estoy teniendo la oportunidad de hacerlo antes de volver a la trituración de alma rutina de la vida universitaria.

Me miré en Spivak y encontró una multa prueba de la $(x \rightarrow a$ $f(x), g(x) \rightarrow 0)$ de los casos; pero cuando fue a probar el $(x \rightarrow \infty, f(x), g(x) \rightarrow 0)$ de los casos, él hizo una sugerencia que en realidad no funciona. (Propuso aplicar l'Hôpital para el primer caso anterior a$f(1/x) / g(1/x)$$x \rightarrow 0$, pero desde que se utiliza el hecho de que $f(0)$ $g(0)$ podría ser definido para probar el primer caso, su versión no parece aplicar. Corrígeme si me equivoco!)

He adaptado esta la prueba de que el segundo caso.

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Teorema: Supongamos que $\lim_{x \to \infty} f(x), \lim_{x \to \infty} g(x) = 0$, e $\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$. A continuación, $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l.$

Prueba: Nota como un lexema que existe un intervalo de $I = (c, \infty)$ en que

1. $g'(x) \neq 0$
2. $g(x) \neq 0$

(La hipótesis implica (1); para probar (2), tenga en cuenta que cada intervalo de $(\eta, \infty)$ otra forma habrían $g(\xi) = 0$, por lo que tomar cualquier $\eta ' > \eta$, no sería $g'(x) = 0$$(\xi, \xi ')$, y por lo tanto en $(\eta, \infty)$, en contra de (1).)

Fix $\epsilon > 0$. Por hipótesis, $\exists M: x > M \implies |\frac{f'(x)}{g'(x)} - l| < \frac{\epsilon}{2}$. Si $M < c$, elija $M = c$$M \in I$.

Ahora elija cualquiera de los $y > M$. Por Cauchy, $\forall x > y$ obtenemos $($$\mu \in (y, x))$

$$\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(\mu)}{g'(\mu)}.$$

Pero si tomamos $\lim_{x \to \infty}$ de ambos lados, nos encontramos con

$$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f(y)}{g(y)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(\mu)}{g'(\mu)}. $$

Sabemos que la CARTA de límite es determinado; también sabemos que

$$ l - \frac{\epsilon}{2} < \frac{f'(\mu)}{g'(\mu)} < l + \frac{\epsilon}{2} \implies l - \frac{\epsilon}{2} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{f'(\mu)}{g'(\mu)} \leq l + \frac{\epsilon}{2}$$

$$\therefore l - \epsilon < \frac{f(y)}{g(y)} < l + \epsilon .$$

Por tanto, hemos amueblado $M : |\frac{f(x)}{g(x)} - l| < \epsilon$ si $x > M$. Esto demuestra el teorema.

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Ahora me siento un impulso repentino para comenzar el uso excesivo de l'Hôpital! Alguien, por favor, decirme si esto es correcto, así que puedo ir a él.

Answer 1

No veo grandes problemas con su prueba. Aunque, ampliando Spivak de la pista, $f(1/x)g(1/x)$ no funciona inmediatamente. Pero, tenga en cuenta que $$ \lim_{x \to 0^+} f(1/x) = \lim_{u \to \infty} f(u) = 0 $$ y lo mismo para $g$. Por lo tanto las funciones $$ f^*(x) = \lim_{z\x} f(1/z), $$ $$ g^*(x) = \lim_{z\x} g(1/z) $$ ¿ satisfacen las hipótesis de L'Hôpital en algún intervalo $[0,\epsilon]$$\epsilon > 0$, (piensa en tomar el recíproco del intervalo de $[M,\infty]$,$\epsilon = 1/M$).