Demostrar que $lcm(m,n) \leq |G : H \cap K| \leq mn$ donde $|G:H| = m$ y $|G:k | = n$

Question

Intento demostrar que $lcm(m,n) \leq |G : H \cap K| \leq mn$ donde $|G:H| = m < \infty$ y $|G:k | = n < \infty$ . En particular, estoy intentando resolverlo utilizando acciones de grupo, núcleos y estabilizadores (quizás no necesariamente utilizando el teorema del estabilizador orbital). Sin embargo, me siento completamente perdido sobre cómo empezar a abordar este problema. ¿Alguien tiene alguna pista o sugerencia sobre cómo resolver este problema? Gracias.

Answer 1

Escriba a $G/H$ para el conjunto de cosets $xH$ para $x\in G$ (tenga en cuenta que esto no es necesariamente un grupo). A continuación, $G$ actúa a la izquierda en $G/H\times G/K$ por $g(xH,yK)=(gxH,gyK)$ . El estabilizador de $(H,K)$ es $H\cap K$ . ¿Cuál es el tamaño de la órbita de $(H,K)$ y cómo se compara con el tamaño de $G/H\times G/K$ ?

Para la primera desigualdad, ¿puedes demostrar que $|G:H|$ es un factor de $|G:H\cap K|$ ?

Answer 2

Pistas. Sea $A=\{gH: g\in G\}$ y $B=\{gK: g\in G\}$ y $C=\{g\cdot (H\cap K):g\in G\}.$

(1)... Demuestre que $C=\{a\cap b: a\in A\land b\in B\}$ \ $\{\phi\}$ demostrando que si $a\in A$ y $b\in B$ entonces $ a\cap b \ne \phi$ si existe $x\in G$ tal que $(xH)\cap (xK)=x(H\cap K)=a\cap b. $ Por lo tanto $|C|\leq |A|\cdot |B|=mn.$

(2)... Para $a\in A$ deje $a^*=\{a\cap b: b\in B\}$ \ $\{\phi\}.$ Utilice (1) para demostrar que si $a_1=g_1H\in A$ y $a_2=g_2H\in A$ entonces $F(X)=g_2g_1^{-1}X $ es una biyección de $a_1^*$ a $a_2^*$ y puesto que $a_1^*\ne \phi$ obtenemos el resultado de que $m$ divide $|\cup \{a^* :a\in A\}|=|C|$ . Intercambiar los papeles de $H$ y $K,$ también encontramos que $n$ divide $|C|$ .

Nada de esto es profundo. Basta con utilizar las def'ns y las propiedades muy b'asicas de los grupos.