Sea $(\mathcal{M}, \tau)$ sea un álgebra tracial de von Neumann, es decir, $\tau$ es una traza normal fiel en $\mathcal{M}$ . Sea $S$ sea un WOT denso unital $*$ -subálgebra de $\mathcal{M}$ .
Dada otra álgebra tracial de von Neumann $(\mathcal{N}, \nu)$ y una algebraica $*$ -homorfismo $\varphi: S \to \mathcal{N}$ que conserva la traza ( $\nu \circ \varphi =\tau$ ), siempre podemos ampliar $\varphi$ a una traza que preserve $*$ -homomismo de $\mathcal{M}$ a $\mathcal{N}$ ?
Esta situación se ha planteado muchas veces al tratar con álgebras de von Neumann separables, en las que $\varphi$ está definida en alguna subálgebra densa contable, y a uno le gustaría extender a todas las $\mathcal{M}$ (por ejemplo, cuando $\mathcal{M} = L(\Gamma)$ para algún grupo contable $\Gamma$ y $S$ es el álgebra generada por los unitarios canónicos $\{u_\gamma \vert \gamma \in \Gamma\}$ ). Sin embargo, por alguna razón, en la literatura que he encontrado, esto a menudo se ignora o se considera trivial.
Mi enfoque para explicar esto fue utilizar las 2-normas inducidas por las trazas $\Vert x \Vert_{2,\tau} = \tau (x^*x), \; \Vert \cdot \Vert_{2, \nu}$ que resultan ser completas en las bolas unitarias de $\mathcal{M, N}$ y captar la densidad WOT de $S$ . Sin embargo, me encuentro con un grave obstáculo, ya que no asumo $\varphi$ respeta la norma del operador de ninguna manera, y no veo cómo en general la preservación de trazas debería decir algo al respecto.
Cualquier referencia o ayuda será muy apreciada.
