Encontrar todas las funciones continuas $f(x)$ tal que $[f(x)]^2 = \int_{0}^{x} \frac{t f(t)}{1+t^2}dt$

Question

Encontrar todas las funciones continuas $f(x)$ real definido para todos los reales $x$ tal que:

$$[f(x)]^2 = \int_{0}^{x} \frac{t f(t)}{1+t^2}dt$$

Estoy realmente atascado. ¿No tenemos que diferenciar ambos lados con respecto a $t$ ?

$$2[f(x) f'(x)]\frac{dx}{dt} = \frac{xf(x)}{1+x^2}$$

No estoy seguro de cómo proceder ...

Answer 1

Supongamos que $f$ es diferenciable. Entonces, en lugar de diferenciar con respecto a $t$ podemos diferenciar con respecto a $x$ . Obtenemos $$2f(x)f'(x)=\frac{xf(x)}{1+x^2},$$ lo que implica $f(x)=0$ o $f'(x)=\dfrac{x}{2(x^2+1)}$ . Este último caso implica, por supuesto $f(x)=\frac14\log(x^2+1)$ . Estas son las dos únicas soluciones.

Tenga en cuenta que no es posible que $f(x)$ ser $\frac 14\log(x^2+1)$ para algunos $x$ y $0$ en otros lugares (excepto $x=0$ ), porque si $f(a)=0$ para $a> 0$ entonces $\int_0^a\frac{tf(t)}{1+t^2}dt>0$ pero $f(a)^2=0$ una contradicción (un argumento similar se aplica para $a<0$ ).