La clase de equivalencia.

Question

Sea $Q$ sea el siguiente conjunto de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ $$\begin{align*} Q=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} | b\neq 0\} \end{align*}$$ Definir la relación $\sim$ en $Q$ a $$\begin{align*} (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc \end{align*}$$ Demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia, y dar la clase de equivalencia de $[(2,3)]$ . Además, el orden general de equivalencia de $[(a,b)]$ . Intente hacer una descripción $Q/\sim$ .

He hecho la misma pregunta (la borré una hora después) pero no se veía bien cuando no intentaba añadir lo que intentaba. Allá vamos. He probado que $\sim$ es una relación de equivalencia demostrando que es i) reflexiva, ii) simétrica y iii) transitiva.

i) $\forall (a,b)\in Q:(a,b) \sim (a,b)$ .

$\forall (a,b)\in Q:(a, b) \sim (a, b) \Leftrightarrow ab \stackrel{\surd}= ab$

ii) $(a, b) \sim (c, d) \Rightarrow (c, d) \sim (a,b)$

$(a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc$ y $(c, d) \sim (a, b) \Leftrightarrow cb = da$

entonces $ad = bc \stackrel{\surd}\Rightarrow cb = da$ .

iii) $[(a, b) \sim (c,d) \wedge (c, d) \sim (e, f)] \Rightarrow (a, b) \sim (e, f)$

$(a, b)\sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc$ , $(c, d) \sim (e, f) \Leftrightarrow cf = de$ y $(a, b) \sim (e, f) \Leftrightarrow af = be$

entonces $((ad = bc) \wedge (cf = de))\stackrel{\surd}\Rightarrow af = be$ .

En clase de la ec. $[(2,3)]$ es el clase que contiene el elemento $(2,3)$ por lo que para cada elemento $(a,b)$ en este clase satisface $(a,b) \sim (2,3) \Leftrightarrow 3a=2b$ es decir $$\begin{equation} [(2,3)] = \lbrace (a,b) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} | b \neq 0 \wedge 3a = 2b \rbrace \end{equation}$$

Así que ahora he mostrado lo que intentaba mostrar. ¿Hay algo que me falte o que debería haber mencionado? Necesito ayuda para responder al resto. Gracias.

Answer 1

La cuestión es que $Q/\sim$ quiere ser el conjunto de los números racionales, $(a,b)$ representando a $\displaystyle\frac ab$ . También disponemos de $$ad=bc \iff \frac ab=\frac cd\,,$$ y formar el conjunto cociente significa básicamente transformar $\sim$ para convertirse en igualdad.

Por lo tanto, la clase de equivalencia de $(2,3)$ es $\{\dots,(-2,-3),(2,3),(4,6),(6,9),\dots\}$ . Por el orden general No sé lo que se quiere decir ..