Una pregunta sobre la independencia lineal de los vectores

Question

Queridos amigos quería preguntaros si $\operatorname{span}\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$ se encuentra en
$\operatorname{span}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ y ambos $u_i$ y $v_i$ son vectores linealmente independientes en el espacio vectorial $V$ ¿podemos decir que ambos vanos son iguales?

Answer 1

La respuesta es sí. Span( $u_1,\ldots, u_n$ ) es un subespacio $A$ de $V$ y Span( $v_1,\ldots,v_n$ ) es un subespacio $B$ de $V$ . Sus condiciones implican que $A\subseteq B$ y que $dim(A)=n=dim(B)$ . Por lo tanto, son iguales.

Una prueba rápida de ello: Si $A\neq B$ entonces hay algún $x\in B\setminus A$ . Debemos tener $x\notin Span(u_1,\ldots, u_n)$ . Pero entonces $C=Span(u_1,\ldots,u_n,x)$ tendría mayor dimensión que $A$ y aún así $C\subseteq B$ .