teorías de obstrucción en geometría algebraica

Question

Me gustaría conocer la historia de las teorías de obstrucción en geometría algebraica, así como la relación con conceptos del mismo nombre en topología. También me gustaría saber dónde se han utilizado las teorías de obstrucción en geometría algebraica. Las aplicaciones que conozco están en los criterios de Artin para demostrar que las pilas son algebraicas, y en la construcción de clases de ciclos virtuales en Gromov-Witten, Donaldson-Thomas y teorías similares.

Moralmente, se supone que una teoría de la obstrucción controla los levantamientos infinitesimales: supongamos que $X \rightarrow Y$ es un mapa de objetos de geometría algebraica (esquemas o pilas o lo que sea) y $S \subset S'$ es una extensión cero cuadrada de $Y$ -esquemas. Una teoría de obstrucción para $X$ en $Y$ es, vagamente hablando, una forma de asociar a cualquier $Y$ -morfismo $S \rightarrow X$ una obstrucción a la existencia de una extensión de ese mapa a un $Y$ -morfismo $S' \rightarrow X$ . En cualquier problema de elevación individual, una obstrucción se puede encontrar normalmente en algún grupo de cohomología u otro, pero es útil para algunos propósitos (como los señalados anteriormente) tener una definición abstracta.

Conozco ya cuatro intentos de axiomatizar la noción de teoría de la obstrucción en geometría algebraica:

1) Artin, M. Deformaciones versales y pilas algebraicas

2) Fantechi, B. y Manetti, M. Cálculo de obstrucción de functores de anillos de Artin, I

3) Li, J. y Tian, G. Ciclos moduli virtuales e invariantes de Gromov--Witten de variedades algebraicas.

4) Behrend, K. y Fantechi, B. El cono normal intrínseco

Answer 1

Hasta donde yo sé, los prototipos de las teorías de obstrucción en geometría algebraica se originaron a partir de la teoría más general Kodaira-Spencer de deformación de variedades complejas [véase Kodaira-Spencer, On deformations of complex analytic structures I-II-III, Annals of Math., 1958-1960].

La cuestión crucial era

Cuando una deformación "infinitesimal" de una variedad compleja compacta $M$ (en particular, de una variedad proyectiva compleja) da lugar a una deformación "genuina" de $M$ es decir, ¿una deformación sobre un disco?

La respuesta a esta pregunta está contenida en el siguiente resultado, véase [Kodaira, Complex manifolds and deformations of complex structures, Theorem 5.1]:

Teorema. Supongamos que dada una variedad compleja compacta $M$ y $\theta \in H^1(M, \Theta_M)$ . Para que exista una familia analítica compleja $\omega \colon \mathcal{M} \to B$ tal que $\omega^{-1}(0)=M$ y $(dM_t/dt)_{t=0}=\theta$ es necesario que $[\theta, \theta]=0$ retenciones.

De hecho, Kodaira dice explícitamente que "si $[\theta, \theta] \neq 0$ no hay deformación $M_t$ con $\omega^{-1}(0)=M$ y $(dM_t/dt)_{t=0}=\theta$ . En este sentido, llamamos $[\theta, \theta] \in H^2(M, \Theta_M)$ el obstrucción a la deformación de $M$ ".

Por supuesto Kodaira era muy consciente de que la condición $[\theta, \theta]=0$ no es suficiente en general, ya que puede haber obstrucciones de orden superior, correspondientes a la necesidad de encontrar truncamientos cada vez mayores de la solución de la ecuación de Maurer-Cartan que gobierna la deformación de la estructura compleja dada. Sólo si todos estos obstáculos desaparecen podemos esperar encontrar nuestra familia analítica compleja $\mathcal{M}$ .

En palabras de Kodaira, "así tenemos infinitos obstáculos a las deformaciones de $M$ . Teniendo en cuenta este hecho, llamamos $[\theta, \theta]$ el obstrucción primaria ".

Las teorías de obstrucción que vinieron después en geometría algebraica, por lo que yo sé, se construyeron para reformular y extender la teoría de Kodaira-Spencer en un entorno completamente algebro-geométrico (por ejemplo, haciendo posible la teoría de deformación en característica $p$ ), con el fin de deformar objetos distintos de las estructuras complejas, como las láminas coherentes, las subvariedades, los mapas, y con el fin de comprender la diferencia entre las deformaciones en sentido analítico y las de sentido algebraico ("problema de algebrización").

Answer 2

Fabien Morel ha desarrollado una versión en $\mathbb{A}^1$ -de la teoría de obstrucción que es familiar en topología algebraica. Véase, por ejemplo, su artículo http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~morel/bgln.pdf . Lo utiliza para demostrar algunos resultados sobre haces vectoriales en variedades afines lisas que son análogos de los resultados clásicos sobre haces vectoriales en variedades compactas (reales).