Distribución de un producto de distribuciones normales : ¿por qué me equivoco?

Question

Sea $X$ y $Y$ sean dos distribuciones normales independientes con media $0$ y varianza $1$ para simplificar.

Quiero encontrar la distribución de $XY$ .

Intento :

$P(XY=w)=\int_{-\infty}^{+\infty}P(X=s)P(Y=\frac{w}{s})ds=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac12s^2-\frac12w^2/s^2}ds$

Utilizando $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2-b/x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-2\sqrt{ab}}$ (Teorema de Glasser o cambio de variable)

con $a=\frac12$ y $b=\frac 12w^2$

Obtengo :

$P(XY=w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-|w|}$

pero integrando sobre $w$ produce $\sqrt{\frac2\pi}\approx0.8<1$

¿Qué casos me faltan? ¿Es porque $s=0$ ¿está incluido y es ilícito? Incluso entonces, esperaría obtener algo estrictamente superior a uno y no inferior ya que el integrando es siempre positivo... ¿a no ser que me esté perdiendo casos especiales?

Sé que puedo encontrar la distribución de $XY$ mediante una búsqueda en google, pero aun así me gustaría saber dónde estoy cometiendo un error, para que no vuelva a ocurrir. Lo siento si esto es trivial, a veces simplemente no puedo verlo.

Answer 1

En primer lugar, su notación es confusa. No debe utilizar una probabilidad masa cuando se refiere a una probabilidad densidad función.

En segundo lugar, la convolución se basa en la regla de la cadena de la diferenciación y en la ley de la probabilidad total.

$$\begin{align}f_{XY}(w) ~&=~ \int_\Bbb R \underset{\text{Jacobian Determinant}}{\underbrace{\left\lVert\frac{\partial(s,w/s)}{\partial (s,w)}\right\rVert} f_X(s)}f_Y(w/s)\operatorname d s \\[1ex] &=~ \frac 1{2\pi} \int_\Bbb R\lvert s^{-1}\rvert \exp(-s^2/2)\exp(-w^2/2s^2)\operatorname d s \\[1ex] &=~\frac 1\pi \int_0^\infty s^{-1}\,\mathsf e^{-(s^2+w^2/s^2)/2}\operatorname d s\end{align}$$

En tercer lugar, eso no se va a resolver en funciones elementales.

(Tema sugerido: Función de Bessel modificada del segundo tipo).

Answer 2

He rehecho los cálculos de forma elemental, lo que, en mi opinión, es mejor para los principiantes. (Aunque es más largo).

El pdf de $XY$ puede interpretarse de la siguiente manera

$$f_{XY}(w)=\lim_{\Delta w\to 0}\frac{F_{XY}(w+\Delta w)-F_{XY}(w)}{\Delta w}=\lim_{\Delta w\to 0}\frac{P(w\le XY<w+\Delta w)}{\Delta w}.$$

Tratemos la probabilidad en el numerador

$$P(w\le XY<w+\Delta w)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}P(w\le XY<w+\Delta w\mid X=x)e^{-\frac{x^2}2} \ dx=$$ $$=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}P\left(w\le xY<w+\Delta w \right)e^{-\frac{x^2}2} \ dx.$$

Así que..,

$$\lim_{\Delta w\to 0}\frac{P(w\le xY<w+\Delta w)}{\Delta w}=$$ $$=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\Delta w\to 0}\frac{P\left(w\le xY<w+\Delta w\right)}{\Delta w}e^{-\frac{x^2}2} \ dx.\tag 1$$

Ahora bien, si $x>0$

$$\lim_{\Delta w\to 0}\frac{P\left(\frac wx\le Y<\frac wx+\frac {\Delta w}x\right)}{\Delta w}=\lim_{\Delta w\to 0}\frac{F_Y\left(\frac wx+\frac{\Delta w}x\right)-F_Y\left(\frac wx\right)}{\Delta w}=$$ $$=\frac{d F_Y\left(\frac wx\right)}{dw}=\frac1xf_Y\left(\frac wx\right)=\frac1{\mid x \mid}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(\frac wx)^2\frac12}$$ Si $x<0$ $$\lim_{\Delta w\to 0}\frac{P\left(\frac wx\ge Y>\frac wx+\frac {\Delta w}x\right)}{\Delta w}=\lim_{\Delta w\to 0}\frac{F_Y\left(\frac wx\right)-F_Y\left(\frac wx+\frac {\Delta w}x\right)}{\Delta w}=$$ $$=-\lim_{\Delta w\to 0}\frac{F_Y\left(\frac wx+\frac {\Delta w}x\right)-F_Y\left(\frac wx\right)}{\Delta w}=$$ $$=\frac1{\mid x \mid }f_Y\left(\frac wx\right)=\frac1{\mid x\mid}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(\frac wx)^2\frac12}$$

El caso $x=0$ puede considerarse como si se omitiera del dominio de la integral $(1)$ que ahora tiene este aspecto

$$f_{XY}(w)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-\frac12\left((\frac wx)^2+{x^2}\right)}}{\mid x \mid } \ dx=\frac1{\pi}\int_0^{\infty}\ \frac{e^{-\frac12\left((\frac wx)^2+{x^2}\right)}}{x}dx.$$