Es bien conocido que tenemos el teorema del trazo para espacios de Sobolev. Sea $\Omega$ un dominio abierto con borde suave, sabemos que el mapa
$$ T: C^1(\bar\Omega) \to C^1(\partial\Omega) \subset L^p(\partial\Omega) $$
por $Tu(y) = u(y)$ para $y\in\partial\Omega)$ puede extenderse continuamente a un mapa lineal en espacios de Sobolev para $p > 1$
$$ T: W^{1,p}(\Omega) \to L^p(\partial\Omega)$$
También sabemos que este mapa no es sobreyectivo, ya que el Teorema del Trazo (incrustación de Sobolev) nos dice que al eliminar 1 dimensión, tenemos que la imagen de $T$ realmente reside ([Editado el 10 de mayo de 2012] advertencia: ver mi comentario en la respuesta a continuación) en un espacio de Sobolev fraccional,
$$ T: W^{1,p}(\Omega) \to W^{1-1/p, p}(\partial\Omega) \Subset L^p(\partial\Omega) $$
Por otro lado, sabemos que este mapa $T$ tiene una imagen densa en $L^p$, simplemente usando la densidad de $C^1$.
Pregunta: ¿Existe una caracterización conocida de manera precisa de cuál es el conjunto imagen de $T$? Una pregunta ligeramente más débil es: consideremos $w \in W^{s,q}(\partial\Omega)$ para $1 - 1/p \leq s \leq 1$ y $q \geq p$, ¿existe necesariamente alguna función $u\in W^{1,p}(\Omega)$ tal que $Tu = w$?
Por ejemplo, si asumimos que $w$ es Lipschitz en $\partial\Omega$, entonces podemos extender (casi trivialmente) $w$ a una función Lipschitz $C^{0,1}(\bar\Omega)\subset W^{1,p}$ para cada $p$. Así que el caso $s = 1, q = \infty$ tiene una respuesta positiva. Mientras que el teorema de incrustación de Sobolev mencionado anteriormente nos dice que es imposible ir por debajo de $s < 1-1/p$ y $q < p.
La base de corte inferior aquí claramente no es precisa. El teorema del trazo combinado con la incrustación de Sobolev se puede usar para intercambiar diferenciabilidad con integrabilidad. Por pura pereza, no incluiré la numerología aquí. Se debe interpretar que las condiciones en $s,q$ son que $s \leq 1$, $q \geq p$ más el requisito de que $(s,q)$ es al menos tan bueno como lo que puede garantizar la incrustación de Sobolev y el teorema del trazo.
