Es el espacio de Minkowski generalmente de un espacio vectorial o una afín espacio?

Question

Cuando visité la Wikipedia de la página en el espacio de Minkowski, que parecía ofrecer dos definiciones. La primera se define espacio de Minkowski un espacio vectorial.

Luego, en una sección posterior, se dice

La sección anterior define el espacio de Minkowski como un espacio vectorial. Hay una variante de la definición de espacio de Minkowski como un espacio afín, que considera al espacio de Minkowski como un espacio homogéneo de la Poincaré grupo con el grupo de Lorentz como el estabilizador. Ver programa de Erlangen.

Son ambas definiciones igualmente válidas? Hacer los físicos prefieren trabajar con más de una interpretación y no de otra? Ofrecen diferentes beneficios?

Answer 1

Físicamente hablando, no hay preferencia origen en el espacio-tiempo de la relatividad especial, por lo tanto, un espacio afín (equipado con un Lorenz producto escalar) es un mejor modelo de espacio vectorial. El grupo de Lorentz que actúa sobre el espacio de la tangente en cada evento, este espacio isomorfo al espacio de cuatro desplazamientos. Toda la permanencia del grupo es la de Poincaré' que incluye las traducciones.

Answer 2

La confusión surge, como en muchos de los casos no se hace ninguna distinción entre el colector de espacio-tiempo y su tangente paquete, o incluso una característica de la fibra. Plano espacio-tiempo se supone que un pseudo-Riemann colector $M$, con una pseudo-tensor métrico $\eta\in T^*M^{\otimes 2}$ definido en todas partes. El vector de espacio de Minkowski es cualquier fibra $T_pM$, el cual se describe generalmente con ortogonal marcos inerciales. Estos marcos están vinculados por la transformación del grupo $O(1,3)$ que representan el amplio grupo de Lorentz. La métrica de la estructura en $M$ puede ser utilizado para activar el colector $M$ a sí mismo en un espacio afín, ya que las longitudes en este espacio son de la traducción-invariante. Por tanto, el pleno del grupo de isometría del espacio-tiempo colector $M$ es no sólo el pleno del grupo de Lorentz $O(1,3)$, pero el mayor grupo de Poincaré $O(1,3)\ltimes\mathbb R^4$, es decir, el semidirect producto con el grupo de traducción $\mathbb R^4$.

Answer 3

Si he entendido bien, quieres saber la diferencia entre los dos.

Echa un vistazo a esta pregunta (y la respuesta): ¿cuáles son las diferencias entre afín espacio y el espacio vectorial?

Respuesta corta: la única diferencia es que afín espacios no tienen una especial $\vec{0}$ elemento. Pero siempre hay un isomorfismo entre un espacio afín con el origen y el correspondiente espacio vectorial.

En este sentido, el espacio de Minkowski es más de un espacio afín. Pero usted todavía puede pensar en él como un espacio vectorial con un especial de 'usted' punto.

Answer 4

La elección es exactamente el mismo que en el espacio Euclidiano, que puede ser representada por el vector de espacio de $\mathbb R^3$, o por los asociados afín espacio. Bien funciona bien, y la única diferencia real es la existencia, en el espacio vectorial de un vector cero. En general, es más formalmente correcto usar el afín versión, que ha incorporado soporte formal para la traducción de la invariancia; sin embargo, esto puede ser engorroso y muchas veces es más limpio para trabajar con el espacio vectorial versión.

Es importante tener en cuenta que, incluso matemáticamente, afín y espacios vectoriales son ya muy cerca de la indistinguibles. Más precisamente, dado un espacio afín $A$ asociado un espacio vectorial $V$ (es decir, que una acción izquierdo $l: V\times A\to A$ existe, con la identidad apropiada, la asociatividad y la singularidad de las propiedades),

• $V$ sí también es un espacio afín, ya que actúa sobre sí mismo trivialmente, y
• $V$ puede ser recuperado de $A$ mediante la fijación de algún punto de $p$ a actuar como cero, de manera que cada una de las $v\in V$ es de uno-a-uno, correspondiente al punto $q\in A$ tal que $q=p+v$.

Por lo tanto, no significativos "elegir" entre la definición, como los objetos están tan estrechamente equivalente.

En la práctica, a menos que explícitamente quieren tratar con la traducción de la invariancia, que a menudo toman la $\mathcal M$ a ser una de cuatro dimensiones espacio vectorial. Es buena la física la práctica, en cualquier caso, para distinguir entre eventos y desplazamientos, ambos de los cuales pueden ser elementos de $\mathcal M$, pero para el que algunas de las acciones - en concreto, la adición de un evento a otro - no hace mucho sentido. Si usted hace esa distinción en la práctica, es decir, si usted sigue el sentido común acerca de lo que usted debería añadir a lo que - entonces usted está esencialmente mediante el afín-definición del espacio, sin todo el complicado mecanismo formal. Es simplemente mucho más fáciles de recordar que el origen, como un evento, no es del todo significativa, y no ir a las longitudes de formalmente hacerse fuera de los libros.