Producto de elementos de orden finito en un grupo

Question

Sea $G$ sea un grupo. Sea $a,b\in G$ ser de orden finito.

Demostrar o refutar:

(1) Si $ab$ tiene orden finito, entonces $ba$ tiene orden finito.

(2) Si $ab$ tiene orden finito, entonces $a^{-1}b^{-1}$ tiene orden finito.

No veo que tanto (1) como (2) tengan que ser ciertas. Sin embargo, no he podido dar un contraejemplo. Supongo que el contraejemplo debe ser algún tipo de grupo no abeliano.

Answer 1

Pistas:

1) En un grupo los elementos conjugados tienen el mismo orden, es decir, si $\;G\;$ es un grupo, entonces

$$ord(x)=ord(x^g)\;,\;\;\forall\,x,g\in G\;,\;\;\text{with}\;\;x^g:=g^{-1}xg$$

2) Tenemos que

$$\forall\,x,y\in G\;,\;\;\;xy=(yx)^y=y^{-1}\left(yx\right)y$$

Answer 2

@Timbuc, todavía tienes que demostrar (2) del OP original. Para ello observamos que ord( $a$ )=ord( $a^{-1}$ ), es decir, el orden de un inverso de un elemento es el mismo que el orden del elemento en cuestión. Dado que $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ se puede aplicar (1).