¿Qué álgebras booleanas completas surgen como álgebras de proyecciones de álgebras conmutativas de von Neumann?

Question

Las proyecciones en un álgebra de von Neumann conmutativa arbitraria forman un álgebra de Boole completa. Además, un morfismo de álgebras conmutativas de von Neumann induce un morfismo continuo de las correspondientes álgebras booleanas completas.

Así pues, tenemos un funtor F plenamente fiel de la categoría de álgebras conmutativas de von Neumann a la categoría de álgebras booleanas completas y sus morfismos continuos.

La categoría de álgebras booleanas completas y sus morfismos continuos es una subcategoría completa de la categoría opuesta de la categoría de locales .

Por lo tanto, el functor F puede verse como la implementación del Dualidad Gelfand-Neumark para álgebras conmutativas de von Neumann . Sin embargo, para obtener un enunciado satisfactorio de la dualidad aún necesitamos caracterizar en términos topológicos los objetos de la imagen esencial de F, que llamamos espacios medibles (o locales, piense en una versión local de espacios medibles en conjuntos de puntos ).

¿Qué otros topológico condiciones que debemos imponer a un álgebra booleana completa para asegurar que es el álgebra de proyecciones de alguna álgebra de von Neumann, es decir, ¿un espacio medible?

Es relativamente fácil establecer condiciones no topológicas. Por ejemplo, un álgebra de Boole completa procede de un álgebra de von Neumann si y sólo si admite un número suficiente de medidas positivas normales.

La razón de exigir condiciones adicionales para ser topológico es que la definición resultante de un espacio medible debe ser fácil relacionarse con otras partes de la topología general.

Por ejemplo, consideremos el functor olvidadizo que envía un álgebra conmutativa de von Neumann a su álgebra C* subyacente. Aplicando la dualidad Gelfand-Neumark a ambos lados obtenemos el funtor olvidadizo de la categoría de espacios medibles a la categoría de locales regulares compactos (o espacios compactos de Hausdorff, si tenemos el axioma de elección). Una definición topológica de un espacio medible debería permitir una descripción explícita de este functor olvidadizo en términos de conjuntos abiertos. Otras aplicaciones potenciales son los functores que envían un lugar (o un espacio topológico) a su espacio medible subyacente, o un colector suave a su espacio medible subyacente. De manera más especulativa, se podría utilizar esta definición para sustituir técnicas ad hoc de la teoría clásica de medidas de conjuntos de puntos por herramientas estándar de topología general.

Answer 1

Un par $(\mathcal{A}, \mu)$ de un $\sigma$ -álgebra booleana completa $\mathcal{A}$ y una funcional $\mu : \mathcal{A} \to [0, \infty]$ se denomina álgebra de medidas si $\mu$ es estrictamente positiva y contablemente aditiva en secuencias disjuntas. Un álgebra de medidas es semifinita siempre que $\mu(a) = \infty$ existe un $b < a$ tal que $0 < \mu(b) < \infty$ . Un álgebra de medidas es localizable si es completa y semifinita.

Se puede construir un álgebra de medidas a partir de un espacio de medidas tomando el álgebra booleana de clases de equivalencia de conjuntos medibles módulo de los conjuntos nulos. En sentido inverso, por el Teorema de Loomis-Sikorski, cada $\sigma$ -es isomorfa al cociente del álgebra booleana completa $\sigma$ -álgebra $\{ A \bigtriangleup B : A \text{ clopen }, B \text{ meager } \}$ por el $\sigma$ -ideal de conjuntos exiguos. Se puede definir una medida ordinaria en el cociente de forma natural, y el álgebra de medidas concreta del espacio de medidas resultante es isomorfa al álgebra de medidas original.

La construcción anterior también puede utilizarse para demostrar que las álgebras de medidas localizables son precisamente las álgebras booleanas de proyecciones de álgebras conmutativas de von Neumann. Obsérvense las similitudes entre las definiciones de un álgebra de medidas localizable y un peso normal semifinito sobre un álgebra de von Neumann.

Debido a la semifinitud de la medida, el problema de caracterizar las álgebras booleanas que son álgebras de medida puede reducirse al caso de medida finita. Llamamos a $\sigma$ -álgebra booleana completa $\mathcal{A}$ finitamente medible cuando existe una función $\mu : \mathcal{A} \to [0, \infty)$ convirtiéndolo en un álgebra de medida. Entonces un álgebra booleana completa $\mathcal{A}$ tiene una función $\mu : \mathcal{A} \to [0, \infty]$ convirtiéndola en un álgebra de medidas localizable precisamente cuando el conjunto $\{ a \in \mathcal{A} : \mathcal{A}_a \text{ is finitely measurable } \}$ es de orden denso en $\mathcal{A}$ donde $\mathcal{A}_a$ es el ideal principal generado por $a$ .

Desgraciadamente, ni siquiera en el caso de las medidas finitas existe una gran solución a este problema. Hay una caracterización por Kelley que lo reduce a la existencia de una medida finitamente aditiva estrictamente positiva y una condición combinatoria (lo que él llama distributiva débilmente contable ). También caracteriza la existencia de una medida finitamente aditiva en términos de números de intersección/cobertura. Gaifman escribió un encuesta sobre este problema, y Jech demostró una caracterización teórica del juego .

Una buena referencia para la mayoría de los hechos mencionados sobre álgebras de medidas es el volumen 3 del tomo de Fremlin Teoría de la medida especialmente los capítulos 32 et 39 .