Finitud del soporte de un módulo como $S$ - y $R$ - módulo

Question

$\DeclareMathOperator\nn{\mathfrak{n}}\DeclareMathOperator\mm{\mathfrak{m}}\DeclareMathOperator\Supp{Supp}\newcommand\card[1]{\lvert#1\rvert}$ Sea $f:R\to S$ sea un homomorfismo de anillos noetherianos conmutativos con identidad que haga que $S$ un finito $R$ -módulo.
Sea $M$ sea una (no necesariamente finita) $S$ -módulo. Así que $M$ también es un $R$ -módulo.

Si $\card{\Supp_S M}\lt \infty$ es $\card{\Supp_R M}\lt \infty$ ?
Si $\card{\Supp_R M}\lt \infty$ es $\card{\Supp_S\ M}\lt \infty$ ?

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¿Y si ?

1- $f$ ¿es el epimorfismo?

o

2- $f$ es un monomorfismo?

Answer 1

$|\operatorname{Supp}_R M| \lt \infty \iff |\operatorname{Supp}_S M| \lt \infty$ .

Combina lo siguiente:

1. Si $Q \in \operatorname{Supp}_S M$ entonces $P=Q \cap R \in \operatorname{Supp}_R M$ porque $M_Q$ es una localización de $M_P$ (como $S$ -). (Esta declaración no requiere $f$ finito).

2. Si $P \in \operatorname{Supp}_R M$ entonces hay al menos un $Q \in \operatorname{Supp}_S M$ que se encuentra sobre $P$ (es decir $Q \cap R = P$ ): El soporte de una suma de módulos es la unión de sus soportes, por lo que la afirmación se reduce a $S$ -módulos generados por un elemento, es decir $M=S/I$ . Entonces $P \in \operatorname{Supp}_R S/I \implies P \supset I \cap R \implies \exists Q \supset I$ tal que $Q \cap R = P$ (por "tumbado" para la inyección de anillos finitos $R/(I \cap R) \subset S/I)$ y tal $Q \in \operatorname{Supp}_S S/I$ .

3. Para cada $P \subset R$ el conjunto de $Q \subset S$ tumbado $P$ es finita, porque la fibra $S_P/PS$ es un anillo artiniano (finito sobre el campo $R_P/P$ ).

Notas:

1. No es necesario que los anillos $R, S$ son noetherianos.

2. Un epimorfismo finito de anillos conmutativos es suryectivo, por lo que $\operatorname{Supp}_R M = \operatorname{Supp}_S M$ en este caso.