Es el operador de Schrodinger con potencial autoadjunto

Question

Consideremos un operador de Schrodinger unidimensional de valor real con potencial $V(x)$ s.t. $L: H^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ $$L(u)=-u''+V(x)u$$ con $V(x)$ delimitado ¿Es este operador autoadjunto?

Answer 1

Una forma de demostrarlo, suponiendo que sepas $-\frac{d^2}{dx^2}$ es autoadjunto en $H^2(\mathbb{R})$ es el teorema de Kato-Rellich. El teorema se encuentra en la página 162 del volumen 2 de Reed-Simon.

Definición: Sea $A$ et $B$ sean operadores densamente definidos en un espacio de Hilbert con $D(A)\subseteq D(B)$ y supongamos que hay constantes $a,b\in \mathbb{R}$ con $$ ||B\phi||\leq a||A\phi||+b||\phi|| $$ Entonces $B$ es $A$ acotado con límite relativo el ínfimo de todos los tales $a$ .

Entonces, el teorema afirma que si $A$ es un autoadjunto, y $B$ es simétrico con $A$ límite relativo $a<1$ alors $A+B$ en $D(A)$ es autoadjunto.

En nuestro entorno, tomar $A=-\frac{d^2}{dx^2}$ que es autoadjunto en $D(A)=H^2(\mathbb{R})$ et $B=T_V$ multiplicación por $V$ que es simétrica y está definida en $L^2(\mathbb{R})\supseteq H^2(\mathbb{R})$ entonces es fácil comprobar que el límite relativo es $a=0$ , tomando $b=||V||_{L^\infty(\mathbb{R})}$ . Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema y el operador es autoconjunto en $H^2(\mathbb{R})$ .

Answer 2

Si $u\in\mathcal{S},$ entonces $$(Lu,v)=\int (-u''\bar{v} +V u\bar{v})=\int \left(u(\overline{-v''})+u\overline{(\bar{V}v)}\right),$$ mediante la integración por partes. Si $V$ es de valor real, entonces $V=\bar{V},$ con lo que la parte derecha de lo anterior es igual a $(u,Lv)$ . Por lo tanto, es formalmente autoadjunto.

$V$ es sólo un operador de multiplicación, por lo que no estropeará la auto-unión (formal) si es de valor real. Creo que es esencialmente auto-conjunta, pero no estoy seguro de un potencial no compacto de valores reales.

Answer 3

Teorema: Si $A : \mathcal{D}(A)\subseteq\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es autoadjunto en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y si $B$ es un operador autoadjunto acotado en $\mathcal{H}$ alors $A+B$ es autoadjunto en $\mathcal{H}$ et $(A+B)^*=A^*+B^*$ .

Prueba: Supongamos que $A$ et $B$ son los indicados. Entonces $$ \Phi(x)=\langle (A+B)x,y\rangle $$ es una función lineal acotada en $\mathcal{D}(A)$ si $\Psi(x)=\langle Ax,y\rangle$ es una función lineal acotada en $\mathcal{D}(A)$ . La prueba se deduce de esto. $\blacksquare$