Regresión y percentil

Question

En un examen parcial, la media es $50$ puntos (de $100$ ) con una DE de $10$ puntos. En el examen final, la media fue de $100$ puntos (de $200$ ) con una DE de 30 puntos. La correlación entre ambos es de 0,6.

¿Qué porcentaje de las personas que obtuvieron un 40 en el parcial mejoraron su percentil en el final?

La solución dada en este caso es el 31% pero no me parece correcta .

Empecé la pregunta normalizando primero la puntuación de 40 en el examen parcial:

$\frac{40-50}{10}=-1$

Así, el mismo percentil de puntuación en la final sería $-1*30+100=70$

Entonces resuelvo para la nueva media de la nota final de la gente que sacó 40 en el parcial, obtengo: $-1*0.6*30+100=82$

Por último, resuelvo la puntuación z de las personas que estaban 1 desviación típica por debajo de la nueva media y utilizo la aproximación normal para obtener el porcentaje de personas que mejoraron su nota final:

$\frac{70-82}{\sqrt{1-0.6^2}*30} = -0.5$

-0,5 corresponde al 30,85% por debajo de la curva, nos interesan las personas que mejoraron en su puntuación final por lo tanto obtenemos: 100%-30.85%=69.15%

¿Es correcta mi solución en este caso?

Answer 1

Lo resolveré según la ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados.

La relación lineal entre $2$ variables $x$ & $y$ viene dada por la ecuación de la recta de regresión, $$ Y= \beta_o+\beta_1Χ+e.....(1)$$

Dónde $Y$ es la variable dependiente

$Χ$ es la variable independiente

$\beta_o$ es la intersección y. Es el valor de Υ para Χ=0

$\beta_1$ es la pendiente de la línea y da la cantidad de cambio en $Y$ por cada cambio unitario en $Χ$ .

$e$ es el error aleatorio.

El valor previsto de $Y$ para un valor determinado de $Χ$ se indica mediante $Y^{\prime}$

$$Y^{\prime}=a+bx.....(2)$$ donde $a= \beta_0^{\prime}=$ la estimación $y$ -intercepto de la recta de regresión

et $b=\beta_1^{\prime}=$ la pendiente estimada de la línea de regresión.

Línea de regresión de $y$ en $x$ es $y-\overline{y}=byx(x-\overline{x}).....\overline{y}$ es la media de $y,\overline{x}$ es la media de $x.....(3)$

consideramos $x$ es la nota del examen parcial

$y$ es la nota del examen final

Dada la media a medio plazo $=50=\overline{x},\overline{y}=100$

y la desviación típica para $x=10$ et $y=30$ $$byx=r\times\dfrac{\sigma}{\sigma x}=0.6\times\dfrac{30}{10}=1.8$$ Introduzca estos valores en $(3)$ obtenemos $$y-50=1.8(x-50)$$ $$y=1.8x+10$$$ \beta_0 $ is the $ y $-intercept $ =10$

$\beta_1$ es la pendiente de la recta $=1.8$

Ahora, introduce esto $(1)$ obtenemos

Si $X=40$ entonces $Y^{\prime}(40)=82$

Por lo tanto, la puntuación prevista para el examen final es $82$