Cómo extender la idea de cifras significativas a operaciones como $\sin\theta$ , $\log x$ , $\sqrt{x}$ , $\cos^{-1} x$ , $e^x$ etc. ¿Existe alguna regla o método general para determinar el número de cifras significativas de una operación determinada?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Al final siempre se reduce a la estimación de errores. Yo diría que las cifras significativas son las que no se ven afectadas por el error estimado.
La herramienta más básica para estimar el error de una función a la que se le introduce un valor del que se conoce el error es la propagación de errores (gaussianos) (pequeños errores).
$ z = f(x,y) $
$$ \Delta z_i|_{x_i, y_i} = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}|_{x_i,y_i} \Delta x_i)^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}|_{x_i,y_i} \Delta y_i)^2}, $$ donde el índice $i$ marca un conjunto dado de valores medidos y los errores respectivos marcados por $\Delta$ .
Por ejemplo: Ha medido la corriente $I = (0.55 \pm 0.01)\,\text{A}$ y la tensión $U = (4.32 \pm 0.05) \, \text{V}$ . Las incertidumbres pueden proceder del manual de su equipo de medición. Ahora desea conocer la resistencia de la carga utilizando $R = f(I,U) = \frac{U}{I} \approx 7.8545$ . Primero se toman los derivados: $\frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{U}{I^2}$ y $\frac{\partial R}{\partial U} = \frac{1}{I}$ e introdúcelos en la fórmula: $$ \Delta R = \sqrt{\left(-\frac{4.32 \, \text{V}}{(0.55 \, \text{A})^2} 0.01 \, \text{A}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.55 \, \text{A}} 0.05 \, \text{V}\right)^2} \approx 0.169 \, \Omega $$ Como este tipo de estimación de errores es bastante aproximada, yo siempre tomaría sólo un número significativo para ello y siempre redondearía las estimaciones de error. Por lo tanto, tomamos $\Delta R = 0.2 \, \Omega$ . Como nuestro error está en el primer decimal, todo lo que hay después del primer decimal no es significativo. Por lo tanto, escribiríamos el resultado como $R = (7.9 \pm 0.2) \, \Omega$
Si no sólo tienes un valor y un error, sino datos que te dan valor y error como media y error estándar, uno simplemente calcularía la función sobre los datos y tomaría media y error estándar después.
Para un análisis más avanzado en el caso de no disponer de esos datos se podría por ejemplo utilizar un bootstrap paramétrico. Esto puede ser necesario si sus errores no son "pequeños" en comparación con el valor de medición o si tiene motivos para creer que sus datos no tienen una distribución normal.
