¿Un vector en 9 dimensiones siempre tiene solución?

Question

Estaba viendo la conferencia del profesor Gilbert Strang sobre álgebra lineal, y en el vídeo habla de cuándo podemos o no decir que las combinaciones lineales de vectores abarcan toda la región en esa dimensión.

Dijo que si tuviéramos nueve vectores, cada uno de dimensión 9, y si los vectores fueran todos aleatorios, entonces la respuesta es probablemente sí. Pero si se da el caso de que dos de los nueve vectores son iguales, entonces no añaden nada nuevo a la ecuación, y lo que obtendremos será probablemente un plano de 8 dimensiones.

No entiendo cómo es posible.

Además, ¿podría alguien explicar qué significa esto en cuanto al número de soluciones que obtendremos?

Answer 1

Piensa en elegir dos vectores al azar en el plano. La probabilidad de que se encuentren en la misma línea (de modo que uno sea múltiplo del otro) es $0$ - son muy finas, por lo que la probabilidad de que sean independientes y abarquen el plano es $1$ .

En $9$ mide la probabilidad de que $9$ todos los vectores aleatorios se encuentran en algún subespacio de dimensión inferior a $9$ es $0$ .

(Para decir esto con rigor hay que ser preciso sobre lo que significa elegir un vector aleatorio, pero la intuición geométrica apoya firmemente la afirmación de Strang. Hay que pensar en ello así, no en términos de ecuaciones).

Answer 2

Empecemos por $2$ dimensiones.

Si elegimos los vectores, $(1,1)$ y $(2,0)$ es evidente que apuntan en direcciones diferentes y son linealmente independientes. Las combinaciones lineales de estos dos vectores abarcan todo el plano.

Sin embargo, si eligiéramos los vectores $(1,0)$ y $(-1,0$ ), no son linealmente independientes. No importa de qué manera hagamos combinaciones lineales de estos dos vectores, sólo pueden abarcar el $x$ -Eje.

De este modo, si y sólo si cada vector es linealmente independiente de los demás $n-1$ vectores, entonces el $n$ vectores pueden abarcar $R^n$ .