Si dos variedades lisas son homeomorfas, sus haces tangentes estables son isomorfos en cuanto a los haces vectoriales.

Question

Actualmente estoy leyendo el artículo de Kervaire-Milnor "Groups of Homotopy Spheres I", Anales de Matemáticas e intento demostrar (o refutar) el siguiente resultado. Cuanto más elemental sea la prueba, mejor.

Si dos variedades lisas son homeomorfas, entonces su tangente estable tangentes estables (es decir, la suma de Whitney del haz tangente con el haz de trivial) son haces vectoriales isomorfos.

Estoy tratando de demostrar esto como un paso intermedio para dar una prueba alternativa para el Teorema 3.1 de KM: Toda esfera homotópica es $s$ -paralelizable.

Answer 1

El resultado que espera es, de hecho, falso.

En la sección 9 del Microbundles: Parte I Milnor construye un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^m$ . Con su estructura lisa estándar, el haz tangente (estable) de $U\times\mathbb{R}^k \subset \mathbb{R}^{m+k}$ es trivial, mientras que en el Corolario 9.3, Milnor muestra que admite una estructura suave para la que el haz tangente tiene una clase de Pontryagin distinta de cero. Como las clases de Pontryagin son estables, el haz tangente estable de esta última variedad no es trivial y, por tanto, no es isomorfo al haz tangente estable de $U\times\mathbb{R}^k$ con su estructura lisa estándar.

Answer 2

Permítanme añadir algo a la gran respuesta de Michael Albanese para ver esta cuestión en un contexto más amplio.

Novikov demostró que las clases racionales de Pontryagin son invariantes de homeomorfismo (de hecho, éste fue uno de los logros por los que recibió la medalla Fields en 1970). Las clases integrales de Pontryagin, sin embargo, no son invariantes bajo homeomorfismo, véase el capítulo 4.4 de "La conjetura de Novikov" de Kreck y Lück.

Algunos polinomios de las clases de Pontryagin son incluso invariantes homotópicos: por ejemplo, $p_1$ de una zona orientada cerrada $4$ -manifold $M$ coincide (por el teorema de la firma de Hirzebruch) con $3\sigma(M)$ veces la clase fundamental en cohomología (donde $\sigma(M)$ denota la firma de $M$ ), que es invariante bajo equivalencia homotópica.

El famoso Conjetura de Novikov se pregunta si ciertas "firmas superiores" también son invariantes bajo equivalencia homotópica. Es una de las cuestiones abiertas más importantes en topología.