¿Qué debe aprenderse en un curso introductorio de teoría analítica de números?

Question

Hola a todos --

Este otoño tengo el privilegio de impartir un curso introductorio de posgrado sobre teoría analítica de números en la Universidad de Carolina del Sur. ¿Qué temas debería tratar?

No me falta buen material, por supuesto. Tengo la intención de cubrir gran parte de Davenport; también está la introducción de Cojocaru y Murty a los métodos de tamizado; hay un interesante trabajo elemental de Chebyshev et al. sobre contar primos; también está el excelente libro de Apostol; podría echar un vistazo al nuevo libro de Pollack; y también hay muchas otras fuentes excelentes. También debería asegurarme de que los estudiantes dominan la suma parcial, el big-O y los tipos de integración de contornos que aparecen en problemas típicos.

Me siento preparado para hacer un buen trabajo, y también tendré buena gente a la que pedir consejo en mi nuevo departamento, pero agradecería de buen grado más consejos, opiniones, etc. de cualquiera que quisiera ofrecerlos. ¿Alguna idea?

Gracias a todos. --Frank

Answer 1

Esto puede ser una exageración, pero ¿qué pasa con el Burgess obligado a sumas de carácter? La hipótesis de Riemann sobre campos finitos es ahora una herramienta omnipresente en la teoría de números, y esta parece una introducción tan buena como cualquier otra. Además, si estás dispuesto (¡como lo estaría yo!) a citar simplemente la estimación clave para sumas de caracteres completas, la deducción de Burgess a partir de ahí es básicamente una aplicación inteligente de la desigualdad de Hölder y los reordenamientos, que por supuesto son técnicas igualmente ubicuas.

Mi resumen personal en una frase de (la mayor parte de) la teoría analítica de números es más o menos "la suma de Poisson, la desigualdad de Holder, el reordenamiento combinatorio y la hipótesis de Riemann sobre campos finitos forman un monoide no conmutativo", y creo que sería ideal que los estudiantes tuvieran una visión de estas cuatro técnicas en un curso introductorio.

Answer 2

Además del libro de Davenport, que básicamente todo el mundo ha recomendado ya, ¿por qué no hablar un poco más del método del círculo? Si no recuerdo mal, la única aplicación que Davenport da es para contar las soluciones de números primos a una ecuación, pero el método del círculo es probablemente más sencillo de entender cuando sólo se buscan soluciones de números enteros. Se puede utilizar el otro libro de Davenport "Analytic Methods for Diophantine Equations and Inequalities". Al final, también hace la conjetura de Oppenheim para 5 variables, que es algo más simple que el resto del libro más allá del problema de Waring.