¿Qué debe aprenderse en un curso introductorio de teoría analítica de números?

Question

Hola a todos --

Este otoño tengo el privilegio de impartir un curso introductorio de posgrado sobre teoría analítica de números en la Universidad de Carolina del Sur. ¿Qué temas debería tratar?

No me falta buen material, por supuesto. Tengo la intención de cubrir gran parte de Davenport; también está la introducción de Cojocaru y Murty a los métodos de tamizado; hay un interesante trabajo elemental de Chebyshev et al. sobre contar primos; también está el excelente libro de Apostol; podría echar un vistazo al nuevo libro de Pollack; y también hay muchas otras fuentes excelentes. También debería asegurarme de que los estudiantes dominan la suma parcial, el big-O y los tipos de integración de contornos que aparecen en problemas típicos.

Me siento preparado para hacer un buen trabajo, y también tendré buena gente a la que pedir consejo en mi nuevo departamento, pero agradecería de buen grado más consejos, opiniones, etc. de cualquiera que quisiera ofrecerlos. ¿Alguna idea?

Gracias a todos. --Frank

Answer 1

Hay tantos posibles "primeros cursos de posgrado en teoría analítica de números" que su intersección mutua debe ser muy pequeña.

Después de reflexionar un poco, las dos cosas que me parecen indispensables son algunos tratamientos del Teorema de los números primos y del Teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas. Combinando estas dos cosas en una sola, te recomiendo encarecidamente que cubras Teorema de los números primos para las progresiones aritméticas . Por supuesto, Davenport dedica más tiempo a este tema que a ningún otro de su libro, así que estoy seguro de que no soñaba con saltárselo. Pero eso significa que es la respuesta correcta, ¿no?

Creo que el siguiente resultado que "ni se te ocurra saltarte" es la Fórmula Analítica de los Números de Clase de Dirichlet. (Permítanme decir que esto no se trató en ningún curso que tomé como estudiante de pregrado o postgrado ni en ningún curso que -- hasta donde yo sé -- siquiera se ofreció).

Después de estos grandes teoremas, me aseguraría de dedicar algo de tiempo a desarrollar los competencias de la teoría analítica de números, especialmente estimar varias cosas de varias maneras. Siempre me he sentido defraudado por no haber aprendido la suma de Euler-Maclaurin (¡o por no haberme enterado de su existencia!), pero estoy seguro de que no es así. obligatorio . La suma por partes es imprescindible, por supuesto.

Answer 2

Discutir algunas aplicaciones de la hipótesis de Riemann generalizada a problemas que en principio no tratan directamente sobre funciones zeta o L. Por ejemplo, la prueba de Solovay-Strassen conduce a una prueba de primalidad en tiempo polinómico si la HGR es cierta para todas las funciones L de Dirichlet (bueno, "sólo" se necesita la HGR para los caracteres pares). Por supuesto, Agrawal-Kayal-Saxena dieron más tarde una prueba incondicional de ese resultado en tiempo polinómico, pero creo que la técnica por la que Solovay-Strassen crearían una prueba de primalidad en tiempo polinómico es una buena ilustración de los métodos analíticos.

Además, cuando se dan aplicaciones de GRH, se debería indicar qué ocurriría en el teorema si se conociera una región libre de cero uniforme de la forma Re(s) > 1/2 + epsilon para algún epsilon en (0,1/2). Muchas aplicaciones de GRH "sólo" necesitan una región común libre de ceros en la franja crítica, no la región óptima común libre de ceros Re(s) > 1/2 (a costa de peores constantes cuando epsilon > 0 en lugar de epsilon = 0).

Answer 3

El semestre pasado impartí un curso sobre teoría analítica de números para estudiantes de cuarto curso de licenciatura. Fueron 2 horas a la semana durante 14 semanas; los estudiantes habían hecho análisis complejo antes. Tuve un capítulo sobre el teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas, un capítulo sobre el teorema de los números primos (demostración con un teorema tauberiano), y un capítulo sobre algunos aspectos del trabajo de Riemann (dos demostraciones de la continuación analítica de $\zeta$ la ecuación funcional, los ceros triviales, los valores especiales).

Answer 4

No tengo ni idea de lo ilustrados que son tus alumnos, pero no puedes equivocarte con el pequeño libro de Vinogradov "Elementos de teoría de números". Si tus alumnos son muy aventajados, acabarás con él en un par de semanas y podrás seguir con Davenport. Si no, puede dedicarle todo el trimestre, y serán más sabios.

Answer 5

Recientemente terminé mi licenciatura en matemáticas y asistí a un curso basado en Davenport y tuve un curso de lectura utilizando Apostol, cuyo uso depende de qué habilidades y resultados más pequeños que desea que salgan. Las cosas que has mencionado, como la gran O y la suma, se tratan a fondo en Apostol. A mí no me engañaron y me gustó mucho poder practicar esas habilidades. Además, tiene material suficiente para que tengas cierta flexibilidad.

Sin embargo, puede parecer un texto demasiado universitario (introduce la definición de grupo antes de hablar de los personajes). También ofrece una demostración bastante elemental del teorema de Dirichlet. Lo cual puede que no te interese.

Un libro no mencionado que también tiene muchos temas y es bueno para aprender es Teoría aditiva de números por Melvyn Nathanson. El material aquí es muy diferente del de los otros dos, pero sigue siendo valioso y accesible.

Si tuviera que elegir uno, me quedaría con Apostol. Era muy fácil de leer y sentí que había adquirido una gran base en las ideas y habilidades de la teoría de números.