Ningún producto directo es denumerable

Question

Lectura de "Algebraic Methods in Philosophical Logic" de Dunn y Hardegree, la siguiente afirmación se hace en la página 29:

Todo producto directo de álgebras finitas es finito o incontable; ningún producto directo de este tipo es denumerable.

¿Seguro que una familia de álgebras finitas indexadas por un conjunto índice denumerable da lugar a un producto directo denumerable?

Gracias por cualquier ayuda o sugerencia.

EDIT: Aquí están las definiciones de álgebra y producto directo que figuran en el libro:

En álgebra $\mathbf{A}$ se define como una estructura operativa. En estructura operativa es, por definición, un conjunto $A$ en familia $\langle O_i \rangle$ de operaciones en $A$ .

Recordemos que a función de elección en familia $\langle A_i \rangle$ de conjuntos es cualquier familia $\langle a_i\rangle$ de elementos tales que $a_j\in A_j$ para todos $j$ en el conjunto de indexación (implícita). El conducto cartesiano de la familia $\langle A_i\rangle$ de conjuntos, denotados $\times\langle A_i\rangle$ se define simplemente como el conjunto de todas las funciones de elección sobre $\langle A_i \rangle$ .

En producto directo de álgebras tiene como conjunto portador $\times\langle A_i\rangle$ y una forma de especificar las operaciones sobre este producto cartesiano. El detalle no debería ser relevante ya que dicen que la razón por la que el producto directo no es denumerable es porque el producto cartesiano no es denumerable.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con las álgebras: cualquier producto de conjuntos finitos es finito o incontable (utilizando el axioma de elección).

Esto se deduce, como bof comentó, del hecho de que $\{0,1\}^\mathbb N$ es incontable: si se tiene una familia de conjuntos finitos no vacíos $(X_i)_{i\in I}$ entonces $J=\{i\in I\mid |X_i|\geq 2\}$ es infinito, en cuyo caso el producto tiene cardinalidad $= \prod_{j\in J}|X_j| \geq \prod_{j\in J}2 \geq 2^\mathbb N >|\mathbb N|$ o es finito, en cuyo caso $\prod_{j\in J}|X_j|$ es entonces finito.