Integración y diferenciación de los intercambios

Question

Sea $x>0$ . Se puede demostrar que $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \lambda}dt = \frac{\Gamma(\lambda - \frac{1}{2})}{4^{-\lambda +1}\sqrt{\pi}}|x|^{-2\lambda +1}~\lambda > \frac{1}{2}.$$ Sea $-1<\lambda <0 $ entonces $$ -\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \frac{\lambda}{2}}dt = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{2} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \frac{\lambda + 2}{2} }dt,$$ que es integrable. Me gustaría demostrar que
$$ -\frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \frac{\lambda}{2}}dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \frac{\lambda}{2}}dt. $$ Pero no puedo encontrar la función integrable $f(t)$ tal que $|\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}t^{- \frac{\lambda}{2}}| \leq f(t)$ . Por lo tanto, no se puede utilizar DTC. ¿Cómo puedo justificar la diferenciación bajo signo integral?

Agradecería mucho cualquier pista o consejo.

Answer 1

Simplifiquemos. Supongamos que $0<p<1/2.$ ¿Es cierto que

$$ \frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2/t}t^{p-1/2} \, dt = \int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x} e^{-x^2/t}t^{p-1/2} \, dt$$

para $x>0?$ La integral de la derecha es

$$= \int_{0}^{\infty}(-2x/t)e^{-x^2/t}t^{p-1/2}\,dt = \int_{0}^{\infty}(-2x)e^{-x^2/t}t^{p-3/2}\,dt.$$

Supongamos $x\in (a,b),$ donde $0<a<b.$ Entonces el valor absoluto del integrando de la derecha está acotado arriba por $2be^{-a^2/t}t^{p-3/2}$ para todos los $x.$ Es una función en $L^1$ que domina las integradas para todos $x\in (a,b).$ Ahora puede utilizar la DCT para obtener el resultado deseado para todos los $x\in (a,b).$ Puesto que cada $x>0$ es en algunos como $(a,b),$ tenemos el resultado que queríamos.