¿Cómo demostrar que la lista no genera un espacio vectorial?

Question

Tengo esta lista $$ S = ((1,2,0,1), (0,1,0,0), (1,0,0,2))$$ y necesito probar que no genera todo el espacio vectorial en $\mathbb R^4$ . (Sé demostrar la generación para 4 vectores.) ¿Pero qué ejemplo tengo que utilizar?

Answer 1

Sin utilizar teoremas generales, se puede ver que toda combinación lineal de estos vectores tiene una tercera coordenada de $0$ . Por lo tanto no pueden generar todo el espacio porque existen vectores con tercera coordenada distinta de cero.

Answer 2

También puedes demostrarlo sin utilizar ninguna combinación lineal entre los vectores de tu lista. Simplemente no puedes generar $\mathbb R^4$ utilizando una lista de sólo tres vectores (necesitará al menos cuatro), porque $\dim(\mathbb R^4)=4$ .