¿Cómo es que la definición de un límite no tiene $0\lt |f(x) - L| \lt \epsilon$ en lugar de $|f(x) -L|\lt \epsilon$ ?

Question

Sabemos que la definición de límite es: $\forall \epsilon > 0 \space \exists\delta>0, 0<|x-c|<\delta \to |f(x) - L| < \epsilon$

A mi entender, esto significa que cuanto más cerca $x$ llega a $c$ Entonces, cuanto más cerca $f(x)$ llega a $L$ . Sin embargo, dado que $x$ nunca está realmente en $c$ ¿entonces no es imposible que $f(x) = L$ ? Si es así, ¿por qué no escribes $0<|x-c|<\delta \to 0<|f(x) - L| < \epsilon$ ya que $f(x)$ nunca puede igualar $L$ ?

Answer 1

Es posible que $f(x)$ ser $L$ aunque $x\neq c$ .

Tal vez $f$ toma el valor $L$ en otro punto que $c$ . Esto ocurre, por ejemplo, con todas las funciones constantes.

Answer 2

¿Es este ejemplo lo que busca? Si $f(x) = 1$ entonces $f(x) = f(1)$ para todos $x \neq 1$ .

Answer 3

Sea $f$ sea la función tal que

$$f(x)=\begin{cases} x\sin(1/x)&,x\ne0\\\\ C&,x=0 \end{cases} $$

donde $C$ es un número arbitrario.

Entonces, tenemos $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ .

Tenga en cuenta que $f(x)=0$ para un número infinito de valores de $x$ en cualquier vecindad eliminada de $x$ (es decir, sólo toma $x=1/(n\pi)$ para cualquier número entero $n\ne 0$ ). Y ello a pesar de que $f(0)=C$ para cualquier $C$ .