En primer lugar, permítanme describir el problema que intento resolver:
Sea $p$ sea un primo, $G$ un grupo finito, $P$ a $p$ -Subgrupo Sylow de $G$ y $L$ un conjunto de todos los elementos de $G$ cuyo orden es coprimo a $p$ . Demostrar que si $K$ es un subgrupo normal de $G$ con $\lvert K \rvert$ es coprimo de $p$ y $G = PK$ entonces $K = L$ .
Ya he demostrado que $K \subset L$ . (Para cualquier elemento $k$ de $K$ considera $\langle k \rangle$ y utilizar el teorema de Lagrange y la hipótesis de que $\lvert K \rvert$ es coprimo de $p$ .)
Entonces trato de mostrar $K \supset L$ pero no puedo. ¿Podría ayudarme? He intentado lo siguiente:
Sea $z$ sea un elemento de $L$ . En $L \subset G = PK$ se puede escribir de la forma $z = xy$ para algunos $x \in P$ y $y \in K$ . Ponga $q$ sea la mayor potencia de $p$ dividiendo $\lvert G \rvert$ . Desde $K$ es normal y $P$ es $p$ -Subgrupo Sylow, $$ z^q = (xy)^q = x^q k = k \in K $$ para algunos $k \in K$ . Por lo tanto, al menos, $z^q \in K$ . Pero desde aquí, ¿cómo puedo mostrar $z \in K$ ? Si mi inglés es malo o la descripción matemática no es clara, dímelo; lo arreglaré. Gracias.
