Si P(A) = 0 o 1 entonces A y B son independientes

Question

La cuestión es: Sean A,B y C sucesos en S entonces demuestre si P(A) = 0 A y B son independientes.

Aquí está mi trabajo:

Para que dos sucesos sean independientes, P(A B) debe ser igual a P(A)P(B). Como P(A) = 0, P(A B) = P(Ø) = 0 y P(A)P(B) = 0 por lo tanto P(A B) = P(A)P(B) = 0 y son sucesos independientes.

Y para la segunda parte pide demostrar que A y B son independientes si P(A) = 1

Mi trabajo:

P(A B) = P(B) ya que P(A) = 1 y P(A)(B) = P(B) ya que P(A) = 1 por lo tanto P(A B) = P(A)P(B).

Estoy escéptico sobre cómo he tratado las intersecciones por ejemplo "P(A B) = P(B) ya que P(A) = 1" y "Ya que P(A) = 0, P(A B) = P(Ø) = 0". Puede alguien aclarar si esto es correcto o incorrecto y si es incorrecto cómo puedo hacerlo correcto.

Gracias

Answer 1

Hay muchos acontecimientos con probabilidad $0$ que no sean el conjunto vacío. Así que el argumento para el caso $\Pr(A)=0$ debe modificarse. He aquí cómo hacerlo. Porque $A\cap B\subseteq A$ tenemos $\Pr(A\cap B)\le \Pr(A)$ . De ello se deduce que $\Pr(A\cap B)=0$ .

Para el $\Pr(A)=1$ también es necesario modificar el argumento. Tenga en cuenta que $B$ es la unión disjunta de $A\cap B$ y $A^c\cap B$ . Porque $A$ tiene probabilidad $1$ tenemos que $A^c$ tiene probabilidad $0$ y, por tanto, también $A^c\cap B$ . De ello se deduce que $\Pr(B)=\Pr(A)\Pr(B)$ .

Un enfoque alternativo a la $\Pr(A)=1$ caso es trabajar con $A^c$ y reutilizar el resultado de la probabilidad $0$ caso.