Si la suma de siete números naturales distintos es 100 Cómo demostrar que existe al menos un grupo de tres números cuya suma es 50

Question

Existen $7$ números naturales distintos cuya suma es $100$ . De estos 7 números se pueden seleccionar 3 números en $C(7,3)=210$ maneras Cómo demostrar que al menos uno de estos grupos tendrá suma al menos $50$ ? Empecé de forma complicada.

Quiero elegir siete números naturales distintos $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7}$

tal que la suma de tres números cualesquiera no exceda de 50.(Y la suma de estos 7 números $=100$ )

Entonces puedo elegir los dos primeros números $x_{1},x_{2}$ según mi deseo con un solo supuesto -más adelante podemos replantearnos este único supuesto e incluir más-.

Suma de estos dos números $x_{1}+x_{2}= a <50$ a partir del tercer número en las salas el número debe ser $x_{3}<50-a$

$x_{4}<50-a$

$x_{5}<50-a $

$x_{6}<50-a$

$x_{7}<50-a$ .

Pero $x_{4} $ tienen dos restricciones más $x_{4} <50-(x_{1}+x_{3})$ y $x_{4} <50-(x_{2}+x_{3})$

Pero este argumento no nos llevará a ninguna parte y, además, complicará las cosas.

Answer 1

Ordena los números de forma creciente. Si los tres mayores no suman más de $50$ entonces lo más grande que pueden ser es $15+17+18=50$ . Entonces, el otro $4$ números son como máximo $14+13+12+11=50$ . Pero esto demuestra que la elección de $7$ números $11, 12, 13, 14, 15, 17, 18$ añadir a $100$ y que ninguno de los tres sume un número mayor que $50$ . Así que tu afirmación es apenas falsa, pero puede hacerse verdadera preguntando por tres números cuya suma sea al menos $50$ .

Answer 2

Como otros han señalado, no se puede garantizar que haya tres números cuya suma sea exactamente $50$ pero se puede demostrar que hay tres cuya suma es como mínimo $50$ y sospecho que eso es lo que se pretendía.

Me resulta más fácil trabajar con números más pequeños. La media de los $7$ números es $\frac{100}7=14\frac27$ . Si restamos $14$ de cada uno de los $7$ números, obtenemos $7$ enteros distintos cuya suma es $2$ y queremos demostrar que la suma de las mayores $3$ de ellos es al menos $50-3\cdot14=8$ . Supongamos que el mayor $3$ son $a<b<c$ . Consideremos dos casos.

• $a\ge 2$ . Esto es fácil.
• $a\le 1$ . ¿Cuál es la mayor suma posible de las otras $4$ números (el más pequeño $4$ )? ¿Qué le dice esto sobre $a+b+c$ ? Recuerde que la suma de todos los $7$ números es $2$ .