No sé lo que Hilbert pretendía realmente con esa cita, ya que no he leído el contexto y mucho menos he repasado exhaustivamente los escritos de Hilbert con esta cita en mente. Tengo la firme sospecha de que Hilbert lo dijo de una manera bastante informal. Sin embargo, vamos a intentar tomárnoslo al pie de la letra. Como toque simpático, lo que discuto es bastante amistoso con el Formalismo.
Una interpretación es que los matemáticos están (o deberían estar) centrados en descubrir y analizar cosas como los objetos libres, por ejemplo, el monoide libre. Para una clase de propiedades relevantes, cualquiera de las propiedades del objeto libre es válida para cualquier otro tipo de objeto similar. Estos objetos libres suelen ser más bien sintácticos. (Una generalización importante es la noción de categorías sintácticas y las lenguas internas. Otro objeto con propiedades similares es clasificación de espacios / clasificación de los topos .)
Siguiendo con el espíritu de ser excesivamente literal, un buen ejemplo de ello es el Álgebra de Lindenbaum-Tarksi para la concreción dicen para la lógica proposicional clásica. Se trata esencialmente de un álgebra booleana libre. Tiene la propiedad de que una fórmula de la lógica proposicional clásica es válido si y sólo si es verdadero en este modelo concreto. Se trata de una interpretación muy literal de un "caso especial" que contiene los "gérmenes de la generalidad".
Siendo menos literal pero quizá más cercano al espíritu de la afirmación de Hilbert. La sintaxis es el manejo que tenemos de los objetos matemáticos. En la medida en que queremos realmente calcular cosas (a menudo incluso para la noción muy amorfa de "calcular" que los matemáticos utilizan a menudo), necesitamos una descripción (más) sintáctica/combinatoria de un objeto. A menudo eso no es posible, pero lo que es posible es encontrar un equivalente objeto que se puede describir de forma más combinatoria. Probablemente uno de los mejores ejemplos sea la noción de complejo simplicial de topología algebraica 1 . Estoy bastante seguro de que Hilbert consideraría los complejos simpliciales como un ejemplo de caso especial que contiene el germen de la generalidad.
1 Para conectar con lo anterior, la noción estrechamente relacionada de un simplicial configure da lugar a la categoría de conjuntos simpliciales y es una topos clasificatorios .
