Encuentra la clase de equivalencia de: [(1,2)],[(2,3)] y [3,-1].

Question

En $\mathbb{R^2}$ consideramos la relación $(x,y)R(a,b)$ si y sólo si existe $n \in \mathbb{Z}$ tal que $n-1<y\leq n \ $ y $n-1<b\leq n \ $ . La relación es una relación de equivalencia.

Hallar la clase de equivalencia de $(1,2)$ , $(2,3)$ y $(3,-1)$ .

[(1,2)]

$[(1,2)]=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} :(x,y)R(1,2) \}=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : n-1<y\leq n \ $ y $n-1<2\leq n \}$

[(2,3)]

$[(2,3)]=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} :(x,y)R(2,3) \}=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : n-1<y\leq n \ $ y $n-1<3\leq n \}$

[(3,-1)]

$[(3,-1)]=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} :(x,y)R(3,-1) \}=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : n-1<y\leq n \ $ y $n-1<-1\leq n \}$

¿Es correcta mi respuesta?

Answer 1

Técnicamente, has aplicado correctamente la definición, pero la respuesta prevista era probablemente una simple descripción de las clases de equivalencia.

Una nota sobre terminología antes de derivar una solución más sencilla: $n$ no se cuantifica en sus respuestas. Correctamente, tendría que añadir $\exists n\in\mathbb Z$ a las comprensiones de conjuntos. Por ejemplo: $$[(1,2)] = \{(x,y)\in\mathbb R^2: \color{red}{\exists n\in\mathbb Z \text{ s.t. }} n-1<y\le n \text{ and } n-1 < 2 \le n\}$$

En primer lugar, la relación es independiente de $x$ y $a$ es decir, el primer componente es libre.
Esto significa que si $(x, y) R (a,b)$ lo mismo ocurre con $(x', y) R(a', b)$ para cualquier $x', a' \in\mathbb R$ . Las clases de equivalencia son siempre de la forma $\mathbb R \times A$ donde $A$ es un subconjunto de $\mathbb R$ .

Para profundizar en la definición, encontrará que estos conjuntos $A$ se describen mediante un número entero $n$ :

Si $A_n := (n-1, n]$ entonces $\mathbb R \times A_n$ es una clase de equivalencia de $R$ .

Las respuestas previstas para ello son probablemente las siguientes:

$[(1,2)] = \mathbb R \times (1, 2]$
$[(2,3)] = \mathbb R \times (2, 3]$
$[(3,-1)] = \mathbb R \times (-2, -1]$

Todas ellas son, por supuesto, equivalentes a su respuesta.

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Una forma algo más general de abordar estos problemas es encontrar una función $f$ tal que $xRy \Leftrightarrow f(x) = f(y)$ . En este caso su $f=\lceil \cdot \rceil \circ \pi_2$ (primero proyectar en la segunda coordenada, luego tomar el techo ( $\lceil x\rceil = n \in \mathbb Z \Leftrightarrow n-1 < x \le n$ ).
La clase de equivalencia de un punto $x$ es entonces $[x]_R = f^{-1} \circ f(x)$ (es decir, la imagen previa de la imagen bajo $f$ )

Answer 2

Parece que tienes el mismo problema que antes. Usted debe comenzar con algo a lo largo de las líneas de $$\begin{align*} [(1,2)] &= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : (x,y)R(1,2)\} \\ &= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \exists n\in\mathbb{Z}\ \text{satisfying}\ n-1 <y \le n\ \text{and}\ n-1 < 2 \le n\}. \end{align*}$$ Observe la parte " $\exists n\in\mathbb{Z}$ satisfactorio...". Es muy importante que describas las variables que estás utilizando. En tu caso, la variable " $n$ " en cada uno de sus conjuntos era indefinido.

Ahora, a partir de aquí, usted debe notar que sólo hay una $n\in\mathbb{Z}$ que satisface $n-1 < 2 \le n$ a saber $n=2$ . Esto nos da la condición $1=2-1 < y \le 2$ o $y\in(1,2]$ siempre que $(x,y)R(1,2)$ . Por lo tanto $(x,y)R(1,2)$ sólo si $y\in(1,2]$ de modo que podemos escribir $$[(1,2)] = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y\in(1,2]\} = \mathbb{R}\times (1,2].$$ Haciendo lo mismo se pueden encontrar las clases de equivalencia $[(2,3)]$ y $[(3,-1)]$ .