¿Por qué no $x$ alcanzar una constante para un bloque que experimenta $v^n$ ¿Fuerza de resistencia?

Question

Estoy atascado en el Ejercicio 3.5 de la dinámica newtoniana por R. Fitzpatrick:

Un bloque de masa $m$ se desliza a lo largo de una superficie horizontal lubricada con aceite pesado de forma que el bloque sufre una fuerza viscosa retardadora de la forma

$$F = - c\,v^n,$$

donde $c>0$ es una constante, y $v$ es la velocidad instantánea del bloque. Si la velocidad inicial es $v_0 $ a la vez $t=0$ encuentra $v$ y el desplazamiento $x$ en función del tiempo $t$ . Encuentre también $v$ en función de $x$ . Demuestre que para $n=1/2$ el bloque no se desplaza más allá de $2\,m\,v_0^{3/2}/(3\,c)$ .

La última parte de la pregunta pide demostrar que para $n=1/2$ el bloque no se desplaza más allá de $2mv_0^{3/2}/(3c)$ .

Partimos de la segunda ley de Newton $$ m \frac{d^2x}{dt^2} = m \frac{dv}{dt} = m v \frac{dv}{dx}= -cv^n. $$

Separando las variables se obtiene $$ \int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{(v')^{n-1}} = -\frac{c}{m} \int_0^x dx', $$

$$ v^{-n+2} = v_0^{-n+2} - \frac{(-n+2)cx}{m}. $$

Enchufar $n=1/2$ , $$ v^{3/2} = v_0^{3/2} - \frac{3cx}{2m}. $$

Poner la velocidad a cero (debe ser así si el bloque deja de moverse), $$ x =\frac{2m v_0^{3/2}}{3c}, $$ que es el resultado deseado.

El problema surge cuando intento resolver para $x$ en términos de $t$ . Ahora, $$ m \frac{dv}{dt} = -cv^n, $$ $$ \int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{(v')^n} = -\int_0^t \frac{c}{m} dt', $$ $$ \frac{1}{v^{n-1}} = \frac{1}{v_0^{n-1}} - \frac{(-n+1)c}{m} t. $$ Subiendo todo a $1/(1-n)$ potencia (por supuesto, suponiendo que $n \ne 1$ ), $$ v = \left( \frac{1}{v_0^{n-1}} - \frac{(-n+1)c}{m} t \right)^\frac{1}{1-n}.$$

Enchufar $n=1/2$ da: $$ \frac{dx}{dt} = \left( v_0^{1/2} -\frac{c}{2m} t \right)^2. $$

Separemos las variables e intentemos integrarlas, $$ \int_0^x dx = \int_0^t \left( v_0^{1/2} - \frac{c}{2m} t' \right)^2 dt', $$ $$ x_{\mathrm{f}} = \int_0^{\infty} \left( v_0^{1/2} - \frac{c}{2m} t' \right)^2 dt'. $$ He enchufado $t = \infty$ porque me parece que el bloque debe detenerse hasta este momento si es que va a detenerse. El problema es que la integral del lado derecho no converge. Así que $x$ no tiene punto final, lo que contradice la primera parte de la solución. ¿Qué ocurre aquí?

Answer 1

En $$\dfrac{dx}{dt}=\left(v_0^{1/2}-\dfrac{c}{2m}{t}\right)^2$$ y $$v(t_f)=\left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=t_f}=0$$ deberías ser capaz de obtener un límite finito en tu última integral.

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EDITAR Una posible razón por la que tu integral final no converge correctamente proviene de un paso anterior. En efecto, pasaste de: $$m\dfrac{dv}{dt}=-cv^n$$ a: $$\dfrac{dv}{v^n}=-\dfrac{c}{m}dt$$ La gran advertencia aquí es, por supuesto, que esto sólo es válido para $v\neq 0$ . Y de hecho, la solución física nos dice que $v=0$ para siempre cuando $t_f$ ¡se ha alcanzado!

Answer 2

Como usted dijo,

$$ \int_0^x dx = \int_0^t \left( v_0^{1/2} - \frac{c}{2m} t' \right)^2 dt', $$

lo que significa, después de la integración, que:

$$ x(t) = x_1(t)=\frac{c^2 t^3}{12m^2} - \frac{ct^2v_0^{1/2}}{2m}+tv_0 $$

El momento en el que $x_1(t_f) = x_f = \frac{2mv_0^{3/2}}{3c}$ es $t_f=\frac{2mv_0^{1/2}}{c}$ que es no infinito . En este punto, la velocidad es cero, por lo que la fuerza es cero, por lo que la aceleración es cero, por lo que la velocidad sigue siendo cero y la posición permanece constante. Más concretamente:

$$ x(t)= \begin{cases} x_1(t) & t\leq t_f \\ x_f & t \gt t_f \\ \end{cases} $$

Esta función no es analítica, aunque es continua y tiene una primera derivada. Esto es inducido por la (irreal) $v^{1/2}$ fuerza. Las soluciones no analíticas no suelen aparecer en escenarios realistas, pero sí en escenarios de juguete como éste o la cúpula de Norton.