Demostrar o refutar que $\forall k\in\mathbb N$ existen tres primos consecutivos tales que $p_i-p_{i-1}\gt k$ y $p_{i+1}-p_{i}\gt k$

Question

Demostrar o refutar que para cada entero positivo $k$ existen tres números primos consecutivos $p_{i-1}, p_i, p_{i+1}$ tal que $p_i-p_{i-1}\gt k$ y $p_{i+1}-p_{i}\gt k$ .

Es bien sabido que $n!+2,n!+3,\cdots,n!+n$ son números compuestos para cualquier número entero $n\gt1,$ por lo tanto, existen espacios entre primos que son arbitrariamente grandes. Otra forma de ver que deben existir huecos entre primos arbitrariamente grandes es el hecho de que la densidad de primos se aproxima a cero, de acuerdo con la teorema del número primo .

Creo que podemos demostrar la afirmación por contradicción. Si no fuera cierto, entonces existe un número entero $k$ tal que para cada primo $p$ existe un primo $q$ tal que $\left|{p-q}\right|\le k.$ Por lo tanto,

$$\sum_{p,q\in \mathbb P,\left|{p-q}\right|\le k}\left(\frac{1}p+\frac{1}q\right)\gt \sum_{p \in \mathbb P}\frac{1}p=\infty.\tag 1$$

Por lo tanto, si podemos demostrar que $(1)$ no es cierto, a saber, $$\sum_{p,q\in \mathbb P,\left|{p-q}\right|\le k}\left(\frac{1}p+\frac{1}q\right)\lt \infty,$$ entonces completaremos nuestra prueba.

Esto es muy similar a Teorema de Brun que afirma que la suma de los recíprocos de los números primos gemelos (pares de números primos que difieren en 2) converge a un valor finito conocido como constante de Brun,

$$\sum_{p,p+2 \in \mathbb P}\left(\frac{1}p+\frac{1}{p+2}\right)\lt \infty.$$

Puede que exista una prueba directa y sencilla, por ejemplo, podemos utilizar el teorema de los números primos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Considera las congruencias $x\equiv1\pmod2,x\equiv2\pmod3,\dots,x\equiv k\pmod{p_k}$ junto con $x\equiv-1\pmod{p_{k+1}},x\equiv-2\pmod{p_{k+2}},\dots,x\equiv-k\pmod{p_{2k}}$ donde $p_r$ es el $r$ th prime. Por el Teorema Chino del Resto, son equivalentes a una única congruencia $x\equiv M\pmod P$ para algunos $M$ donde $P$ es el producto del primer $2k$ primos. Por el Teorema de Dirichlet sobre los Primos en la Progresión Aritmética, hay infinitos primos $p$ satisfaciendo esta congruencia. Pero para cualquier primo $p$ los números $p+1,p+2,\dots,p+k$ son todos compuestos, al igual que los números $p-1,p-2,\dots,p-k$ .