Una respuesta parcial a esta pregunta es que la respuesta a la caja pregunta es "sí", asumiendo que la subserie son distintos y no vacío. Voy a construir una secuencia $r_1$, $r_2$, $\dots$ de los números reales positivos tales que $\sum_j r_j$ es convergente, y, para cualquier elección de $k$, subconjuntos $S_1$, $S_2$, $\dots$, $S_k$ de $\{1,2,3,\ldots\}$, y $\alpha_1$, $\dots$, $\alpha_k\in\Bbb Q$,
$$
\sum_{1\le i\le k} \alpha_i \sum_{j\en S_i} r_j=0
\ \ \ \Rightarrow\ \ \
\sum_{1\le i\le k} \alpha_i 1_{S_i}=0, \ \ \ \ \ \ \ (*)
$$
donde $1_T$ es la función de indicador de $T$. Esto significa que no hay ninguna $\Bbb Q$-relaciones lineales entre la subsums de la $r_j$s, aparte de los que se ven obligados a existir por relaciones como la
$$
(r_1+r_2)+(\sum_{j\ge 3} r_j)=\sum_j r_j,
$$
$$
(\sum_{j{\rm\ impar}} r_j)+(\sum_{j{\rm\ impar}} r_j)=\sum_j r_j,
$$
y así sucesivamente.
La secuencia se define de manera similar al ejemplo mencionado por Jonas Meyer arriba.
Vamos $T_1$, $T_2$, $\dots$ ser de cualquier partición de $\{1,2,3,\dots\}$ en countably
muchos subconjuntos, cada uno de los countably infinito. A continuación, establezca
$$
r_j:=\sum_{\ell\en T_j} \frac{1}{\ell!}, \qquad j=1, 2, 3, \dots.
$$
Para demostrar $(*)$, suponga que el lado izquierdo de $(*)$ mantiene. Se puede borrar denominadores de las $\alpha_i$s para encontrar que, para algunos $a_1$, $\dots$, $a_k\in\Bbb Z$,
$$
\sum_{1\le i\le k} a_i \sum_{j\en S_i} r_j=0,
$$
la cual puede escribirse como
$$
\sum_\ell \frac{C_\ell}{\ell!}=0, \ \ \ \ {\rm donde}\ \ \ \ C_\ell:=\sum_{1\le i\le k} a_i 1_{S_i}(\phi(\ell)), \ \ \ \ \ \ \ (**)
$$
y $\phi$ es la función de tomar cualquier $\ell\in\{1,2,3,\dots\}$ a la única $j$ satisfacción $\ell\in T_j$. Ahora, $|C_\ell|$ está acotada arriba por $R:=\sum_{1\le i\le k} |a_i|$. Suponga que $s\ge R$; luego multiplicando $(**)$ $s!$ da
$$
\frac{C_{s+1}}{s+1}
+\frac{C_{s+2}}{(s+1)(s+2)}
+\frac{C_{s+3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}
+
\cdots\en\Bbb Z,
$$
pero la magnitud de la diferencia de el lado izquierdo de esta expresión de $C_{s+1}/(s+1)$ es de menos de $R/(s+1)^2<1/(s+1)$. De ello se desprende que $C_{s+1}/(s+1)$ debe ser un número entero, por lo $C_{s+1}=0$ siempre $s\ge R$. Desde cada una de las $T_j$ es infinito, cada una de las $T_j$ debe contener algún miembro superior $R$, lo $\phi$ debe tener la gama completa cuando se limita a $\{R+1,R+2,R+3,\dots\}$. De ello se desprende que $\sum_{1\le i\le k} a_i 1_{S_i}=0$, demostrando $(*)$.
