La secuencia recursiva no converge

Question

Defina $x_n$ recursivamente como sigue: $x_1=1$ , $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$ . Se nos pide que demostremos que esta secuencia no es convergente. Aquí está mi intento.

Desde $x_1=1>0$ y para cada $n \in \mathbb{N}, |x_n|>0$ debemos tener $|\frac{1}{x_n}|>0$ y por lo tanto $|x_n|<|x_{n+1}|$ . Lo que significa $\{x_n\}$ es una sucesión monótona y para demostrar que no converge basta con demostrar que no está acotada. Supongamos $\lbrace x_n \rbrace$ está acotada y $M=\sup \lbrace x_n \rbrace$ .

Por la propiedad de supremacía de $\mathbb{R}$ dado $\epsilon> \frac{1}{M} >0, \exists k \in \mathbb{N}, x_k>M-\epsilon$ . Diga $x_k=\delta>M-\frac{1}{M}$ . Tenga en cuenta que $M \geq \delta \implies \frac{1}{\delta} \geq \frac{1}{M}$ . También, $M-\frac{1}{M}< \delta \leq M$ $\implies$ $M < \delta +\frac{1}{M} \leq M+\frac{1}{M}$ y de aquí obtenemos $M< \delta+\frac{1}{M}< \delta+\frac{1}{\delta}$ . Pero.., $x_{k+1}=\delta+\frac{1}{\delta}$ que es una contradicción, por lo que la secuencia es ilimitada.

¿Te parece bien?

Edición: Cambiada la definición de M según el comentario.

Answer 1

La idea está bien, pero algunos detalles son erróneos. En primer lugar, según su definición $\sup\{y\in\Bbb R:y\ge x_n\}=+\infty$ lo que definitivamente no es lo que quieres; de lo que sigue parece que quieres definir $M$ para ser el supuesto límite superior mínimo de la secuencia, es decir, $M=\sup\{x_n:n\in\Bbb Z^+\}$ .

Su $\epsilon$ nunca se utiliza realmente. Además, si $\epsilon>\frac1M$ , eligiendo $k\in\Bbb Z^+$ para que $x_k>M-\epsilon$ no garantiza que $x_k>M-\frac1M$ ya que $M-\frac1M>M-\epsilon$ . Basta con observar que la definición de $M$ garantiza que haya un $k\in\Bbb Z^+$ tal que $x_k>M-\frac1M$ . No es necesario cambiarle el nombre $\delta$ que sólo introduce un símbolo innecesario. A continuación, puede completar el argumento más o menos como lo hizo, pero un poco más eficiente: $x_k<M$ Así que $\frac1{x_k}>\frac1M$ y, por lo tanto

$$x_{k+1}=x_k+\frac1{x_k}>\left(M-\frac1M\right)+\frac1M=M\;,$$

contradiciendo la definición de $M$ .

Answer 2

Suponiendo que la secuencia converge, converge a alguna $x_\infty$ tal que

$$x_\infty=x_\infty+\frac1{x_\infty}.$$

Esto demuestra que la convergencia es imposible.