Imagen del dominio bajo el mapa $f(z) = z^6$ ?

Question

Me dan el dominio $\Omega := \{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}(z) > \sqrt{3}|\operatorname{Re}(z)|\}$ . Quiero saber cuál es la imagen $f(\Omega)$ de este dominio está bajo el mapeo $f(z)=z^6$ . No estoy seguro de si mi método es correcto, aquí está mi intento:

Una vez esbozado el dominio, creo que puedo reescribir $\Omega$ como: $$\Omega = \{z=re^{i\theta} \in \mathbb{C}: r>0, \frac{\pi}{3} < \theta \leq \frac{\pi}{2}\} \cup \{z=re^{i\theta} \in \mathbb{C}: r>0, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}\}$$ Entonces, utilizando el razonamiento de que $f$ envía $z=re^{i\theta}$ a $z^6=r^6e^{6\theta i}$ , he dicho que el dominio está mapeado a: $$f(\Omega) = \{z=re^{i\theta} \in \mathbb{C}: r>0, 2\pi < \theta \leq 3\pi\} \cup \{z=re^{i\theta} \in \mathbb{C}: r>0, 3\pi < \theta < 4\pi\}$$ lo que interpreto como: si $f(\Omega)$ fuera un croquis en el plano complejo, sería todo el plano menos el eje real positivo.

¿Es correcto? Si lo es, ¿hay alguna forma más rápida o intuitiva/interesante de llegar hasta aquí?

Answer 1

Tienes la idea correcta, pero me confunde un poco tu descripción del dominio. Seguramente la unión de esos dos conjuntos es simplemente $$\Omega=\{re^{i\theta}:\ r>0,\ \tfrac13\pi<\theta<\tfrac23\pi\}.$$ En cualquier caso, su razonamiento a partir de aquí es correcto, y luego la imagen $f(\Omega)$ también puede describirse simplemente como $$f(\Omega)=\{re^{i\theta}:\ r>0,\ 2\pi<\theta<4\pi\},$$ que es de hecho todo el plano complejo menos el eje real positivo. Además, no olvides que te falta $0\in\Bbb{C}$ está bien; quizás sería menos ambiguo decir que es todo el plano complejo menos el no negativo eje real.

---

Otra forma de verlo, aunque menos rigurosa, es observar que $\Omega$ es una región abierta delimitada por dos semilíneas. Estas dos semilíneas están ambas mapeadas al eje real no negativo, y así $\Omega$ se asigna a una región abierta delimitada por el eje real no negativo. Esto debe ser precisamente $\Bbb{C}$ menos el eje real no negativo. Por supuesto, esto también puede hacerse riguroso.

Aquí es una pieza interactiva de geometría que muestra lo que $f(\Omega)$ parece para $f(z)=z^a$ como $a$ varía. La región roja es la parte de $f(\Omega)$ que está dentro del disco de la unidad. Se rompe en $a=6$ desgraciadamente.