$(\mathbb{Q},+) $ y $(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q},+)$ no son isomorfos como grupos

Question

Necesito ayuda para resolver esta pregunta de tarea de álgebra abstracta.

Demostrar que $(\mathbb{Q},+) $ y $(\mathbb{Q} \times\mathbb{Q},+)$ no son isomorfos como grupos .

No consigo encontrar una propiedad que satisfaga a uno de los grupos pero no al otro a pesar de pensarlo mucho .

Por favor, ayuda.

¡¡Gracias!!

Answer 1

En $(\mathbb Q,+)$ todo subgrupo finitamente generado es cíclico. En $(\mathbb Q\times\mathbb Q,+)$ el subgrupo $(\mathbb Z\times\mathbb Z, +)$ es de generación finita pero no cíclica - es de rango $2$ .

Answer 2

Supongamos que existe un isomorfismo $f:\mathbb Q\to\mathbb Q\times\mathbb Q$ . Sea $x\in\mathbb Q$ sea tal que $f(x)=(0,1)$ y $y\in\mathbb Q$ sea tal que $f(y)=(1,0).$

Desde $x$ y $y$ deben ser números racionales distintos de cero, hay enteros $n,m\in\mathbb Z$ que no sean a la vez cero, de forma que $nx+my=0$ . Sin embargo, esto significaría $(n,m)=nf(x)+mf(y)=(0,0)$ que es una contradicción. Por lo tanto, no hay tal $f$ existe.

Answer 3

Sea $$ \phi:\mathbb{Q}\longrightarrow\mathbb{Q}\times\mathbb{Q} $$ sea un isomorfismo y que $H=\phi(\mathbb{Z})$ . Entonces $\phi$ debe inducir un isomorfismo $$ \bar\phi:\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}\longrightarrow\frac{\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}}{H}. $$ Pero $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ es la torsión, mientras que $\frac{\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}}{H}$ no es tan fácil de comprobar.

Answer 4

Supongamos que fueran isomorfos. Sea $\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}^2$ sea un isomorfismo de este tipo. Por lo tanto $\varphi(1)=(x,y)$ para algunos $x,y\in \mathbb{Q}$ . Entonces $\varphi(r)=(rx,ry)$ para todos $r\in\mathbb{Q}$ (¿entiendes por qué?). Sabemos que $x\neq 0$ y $y\neq 0$ (de lo contrario $(1,1)$ no sería a imagen de $\varphi$ ).

Pero ahora vemos que $(2x,y)$ no puede ser a imagen de $\varphi$ : Si $\varphi(r)=(2x,y)$ entonces $(rx,ry)=(2x,y)$ Por lo tanto $2=r=1$ que es una contradicción.

Concluimos que $\varphi$ no puede existir.