cómo resolver la EDO NO utilices la transformada de laplace

Question

$u(t)$ es la función escalón.

$$ \frac{d^2}{dt^2}y(t) +2\frac{d}{dt}y(t) + y(t) = \frac{du(t)}{dt} + u(t) $$

No sé cómo lidiar con $u(t)$ .

Answer 1

Sugerencia : Empieza por dejar que $$z(t)=\frac{d}{dt}y(t)+y(t).$$ ¿Cómo nos permite esta sustitución reescribir el lado izquierdo? Ahora, junta los términos diferenciales en un lado y los no diferenciales en el otro. Todo debería encajar fácilmente.

Answer 2

Escribe la ecuación como $$ (D+1)^{2}y = \frac{du}{dt}+u, $$ donde $D$ es el operador de diferenciación de Heaviside, lo que parece apropiado porque $u$ es la función escalón de Heaviside (Heaviside formuló por primera vez la derivada de la función escalón como una función implusa (delta), antes que Dirac).

Para terminar, observe que $$ e^{t}(D+1)f=e^{t}f'+e^{t}f=(e^{t}f)'=D(e^{t}f). $$ Por lo tanto, multiplicando ambos lados de la ecuación original por $e^{t}$ da $$ e^{t}(D+1)^{2}y=e^{t}\frac{du}{dt}+e^{t}u, \\ D^{2}(e^{t}y) = e^{t}\frac{du}{dt}+e^{t}u. \\ $$ Elija $a < 0$ e integrar sobre $[a,t]$ . Siguiendo el comentario que te dejé: Si $[a,t)$ incluye $0$ entonces la integral de $e^{t}\frac{du}{dt}$ es $e^{0}=1$ y es $0$ de lo contrario. Así, se obtiene $$ D(e^{t}y)=D(e^{t}y)|_{t=a}+\int_{a}^{t}e^{s}\frac{du}{ds}ds+\int_{a}^{t}e^{s}u(s)\,ds. \\ = e^{a}y'(a)+e^{a}y(a)+\left\{\begin{array}{lc}1+(e^{t}-1) & t > 0\\ 0 & t < 0\end{array}\right. \\ = e^{a}y'(a)+e^{a}y(a)+u(t)e^{t}. $$ A continuación, integrar de nuevo sobre $[a,t]$ : $$ e^{t}y(t)=e^{a}y(a)+\{e^{a}y'(a)+e^{a}y(a)\}(t-a)+u(t)(e^{t}-1). $$ La respuesta final es $$ y(t) = e^{a}y(a)e^{-t}+\{e^{a}y'(a)+e^{a}y(a)\}(t-a)e^{-t}+u(t)(1-e^{-t}) $$ En otras palabras, hay constantes $C$ y $D$ tal que $$ y(t) = \left\{\begin{array}{lc} Ce^{-t}+Dte^{-t}+(1-e^{-t}) & t > 0 \\ Ce^{-t}+Dte^{-t} & t < 0 \end{array}\right. $$