Si tienes un oscilador armónico en x, la función de onda del estado fundamental es una gaussiana;
$$ H = {p^2\over 2} + {\omega^2 x^2\over 2} $$
$$ \psi_0(x) = e^{ - {\omega x^2\over 2}} $$
Si tienes dos osciladores independientes x,y;
$$ H = {p_x^2\over 2} + {p_y^2\over 2} + {\omega_1^2 x^2\over 2} + {\omega_2^2 y^2\over 2} $$
el estado básico es un producto:
$$ \psi_0(x,y) = e^{-{\omega_1 x^2\over 2}} e^{-{\omega_2 y^2\over 2}} $$
Por lo tanto, no hay entrelazamiento en el estado básico entre x e y. Pero si se mira en una base rotada (y $\omega_1 \ne \omega_2$ ), hay entrelazamiento.
Para un campo cuántico escalar en un enrejado espacial en volumen finito (el tiempo sigue siendo continuo), tienes (si transformas de Fourier en el espacio) un montón de osciladores armónicos desacoplados (la suma en k es sobre k's no redundantes para un campo escalar real, esto es la mitad del espacio completo $k_x>0$ ):
$$ H = \sum_k {1\over 2} \dot{\phi_k}^2 + {k^2+m^2\over 2} \phi^2 $$
Que es un montón de osciladores desacoplados, por lo que el estado de reposo es;
$$ \psi_0(\phi_k) = \prod_k e^{-{\sqrt{k^2+m^2} |\phi_k|^2\over 2}} $$
Eso no está enredado en términos de $\phi_k$ pero en términos de $\phi_x$ (en la red), está enredado. La función de onda del vacío Gaussian puede expresarse aquí como:
$$ \psi_0(\phi) = e^{-\int_{x,y} \phi(x) J(x-y) \phi(y)} $$
Dónde $J(x-y) = {1\over 2} \sqrt{\nabla^2 + m^2} $ es no el propagador, es este extraño operador no local de raíz cuadrada.
El vacío para las teorías de campo bosónico es una distribución estadística, es una distribución de probabilidad, que es la probabilidad de encontrar una configuración de campo $\phi$ en una simulación Monte Carlo en cualquier corte de tiempo imaginario de una simulación (cuando se hace larga la coordenada t). Esta es una interpretación del hecho de que sea real y positiva. Las correlaciones en esta distribución de probabilidad son las correlaciones de vacío, y para campos libres son sencillas de calcular.
En mi opinión, no merece la pena leer el material sobre la teoría axiomática de campos. Es ofuscador y revela ignorancia de las ideas fundamentales del campo, incluidas las de Montecarlo y las integrales de trayectoria.
Función de onda de vacío general para campos bosónicos
En cualquier integral de trayectoria para campos bosónicos con una acción real (teoría invariante PT), y esto incluye la teoría pura de Yang-Mills y las teorías con fermiones integrados, la función de onda del vacío es exactamente lo mismo que la distribución de probabilidad de los valores de campo en la formulación del tiempo euclídeo de la teoría. Esto es cierto fuera de la teoría de perturbaciones, y hace completamente ridículo que la teoría matemática rigurosa no exista. La razón es que los límites de las distribuciones de probabilidad en los campos a medida que la red se vuelve fina son molestos de definir en la teoría de la medida, ya que se convierten en medidas sobre distribuciones.
Para verlo, obsérvese que en t=0, ni la teoría del tiempo imaginario ni la del tiempo real tienen factores de evolución temporal, por lo que son equivalentes. Así que en una caja imaginaria ilimitada en el tiempo, los valores esperados en la teoría euclidiana en una rebanada de tiempo son iguales a los valores esperados en el vacío de igual tiempo en las teorías lorentzianas.
Esto te da una definición Monte Carlo de la función de onda del vacío de cualquier teoría de campo bosónica invariante PT, libre o no. Esta es la principal idea sobre los estados básicos debida a Feynman, descrita explícitamente en la integral de trayectoria y en el trabajo sobre el estado básico del He4 líquido en la década de 1950 (este es también un sistema bosónico, por lo que el estado básico es una distribución de probabilidad). Se utiliza para describir el vacío 2+1 Yang-Mills en 1981 por Feynman (su último trabajo publicado), y este trabajo se extiende para calcular la tensión de la cuerda por Karbali y Nair hace aproximadamente una década.
