Función de transferencia mediante análisis de malla

Question

Tengo el siguiente circuito:

Tengo que encontrar la función de transferencia mediante el análisis de malla. En primer lugar he utilizado la transformación de Laplace.

Aunque vi algunos ejercicios similares, no veo realmente qué puedo sacar de las ecuaciones de la malla.

1ª Malla $$V(s) - I_{1}(s)R_1 - V_{L_1}(s) = 0$$

2ª Malla $$V_{L_1}(s) - I_{2}(s)R_2 - I_{2}L_{2}s = 0$$

También supuse que $$V_{L_1}(s) = sL_{1}(I_{1}(s) - I_{2}(s))$$

Answer 1

Esta función de transferencia puede resolverse sin escribir una sola línea de álgebra yendo directamente al grano con un baja entropía expresión. Utilizaré las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT, tal como se describen en el Libro que publiqué en 2016. El principio es realmente sencillo y se aplica bien a circuitos pasivos de cualquier orden: determinar las constantes de tiempo del circuito cuando se anula la excitación (se cortocircuita la entrada con una fuente de tensión) y se anula la salida. El siguiente dibujo muestra los pasos que consisten en "mirar" a través de cada elemento almacenador de energía y determinar la resistencia \$R\$ que "ves". Esa resistencia es entonces parte de las constantes de tiempo que queremos, \$\tau=\frac{L}{R}\$ en nuestro caso.

El siguiente dibujo muestra los pasos adoptados. Con un poco de hábito, se pueden omitir los dibujos y escribir las constantes de tiempo directamente, pero es bueno tener estos dibujos ya que se podría volver a cualquiera de ellos y fijar uno en caso de que se observara una desviación al final.

Empiezas con \$s=0\$ en el que todos los inductores se ponen en su estado dc, lo que implica un camino de señal cortocircuitado dos veces: se tiene un doble cero en el origen y la ganancia dc \$H_0\$ es obviamente cero. Entonces apagas la excitación y la fuente de tensión de 0 V se sustituye por un cortocircuito. Eso es lo que reflejan los dibujos y sólo tienes que inspeccionar el croquis para deducir el valor de la resistencia. Realmente rápido y sencillo. Entonces, una vez que el natural se determinan las constantes de tiempo, calcular tres ganancias \$H\$ en el que cada inductor se sustituye alternativamente por su componente equivalente de alta frecuencia (un circuito abierto) mientras que el segundo inductor es un cortocircuito. Siguiendo esta regla, las ganancias \$H_1=H_2=0\$ mientras que la única ganancia válida es cuando ambos inductores están en circuito abierto ( \$s\$ se aproxima a infinito) y tenemos \$H_{12}=1\$ . Montarlo todo en una hoja de Mathcad y, voilà, las curvas aparecen con la función de transferencia final montada de la forma más compacta, \$H_{30}\$ :

Como las raíces son reales, se puede aplicar el bajo \$Q\$ aproximación y desvelan un formato con un polo inverso en el denominador que hace que la función de transferencia sea extremadamente compacta. El término principal debe ser la ganancia de alta frecuencia, que es 1, pero sería menor si se opta por cargar el circuito con una resistencia.

Answer 2

Bueno, voy a presentar un método que me gusta utilizar.

Lo tenemos:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{V}_\text{o}\left(\text{s}\right)}{\text{V}_\text{i}\left(\text{s}\right)}\tag1$$

Ya lo sabemos:

$$\text{V}_\text{i}\left(\text{s}\right)=\text{I}_\text{i}\left(\text{s}\right)\cdot\left(\text{R}+\frac{\text{sL}\cdot\left(\text{R}+\text{sL}\right)}{\text{sL}+\text{R}+\text{sL}}\right)\tag2$$

Y:

$$\text{V}_\text{o}\left(\text{s}\right)=\text{I}_\text{o}\left(\text{s}\right)\cdot\text{sL}=\text{I}_\text{i}\left(\text{s}\right)\cdot\frac{\text{sL}}{\text{sL}+\text{R}+\text{sL}}\cdot\text{sL}\tag3$$

Así que..:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{V}_\text{o}\left(\text{s}\right)}{\text{V}_\text{i}\left(\text{s}\right)}=\frac{\text{I}_\text{i}\left(\text{s}\right)\cdot\frac{\text{sL}}{\text{sL}+\text{R}+\text{sL}}\cdot\text{sL}}{\text{I}_\text{i}\left(\text{s}\right)\cdot\left(\text{R}+\frac{\text{sL}\cdot\left(\text{R}+\text{sL}\right)}{\text{sL}+\text{R}+\text{sL}}\right)}=\frac{\text{s}^2\text{L}^2}{\text{R}^2+\text{s}\left(\text{sL}^2+3\text{LR}\right)}\tag4$$

Digamos que \$\text{R}=\text{L}=1\$ de lo que recibimos:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right)=\frac{\text{s}^2}{\text{s}^2+3\text{s}+1}\tag5$$

Y así, para la respuesta de frecuencia, estamos viendo:

• La magnitud: $$\left|\mathcal{H}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\frac{\omega^2}{\sqrt{\omega^4+7\omega^2+1}}\tag6$$
• La fase: $$\arg\left(\mathcal{H}\left(\text{j}\omega\right)\right)=\begin{cases} 0\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\text{when}\space\space\space\omega=0\\ \\ 0\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\text{when}\space\space\space\omega=1\\ \\ \arctan\left(\frac{3\omega}{\omega^2-1}\right)\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\text{when}\space\space\space\omega>1\\ \\ \frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2-1\right|}{3\omega}\right)\space\space\space\space\space\text{when}\space\space\space0<\omega<1 \end{cases}\tag7$$

Answer 3

La solución en el Dominio de Laplace, con condiciones iniciales nulas, requiere resolver el circuito simplemente sustituyendo el efecto de impedancia de los inductores \$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\$ con \$V(s)=sLI(s)\$

Las expresiones de los circuitos son:

$$V_1=R_1I_1+sL_1(I_1-I_2)$$

$$sL_1(I_1-I_2)=R_2I_2+sL_2I_2$$

$$V_2=sL_2I_2$$

Pueden reordenarse simplemente como:

$$I_1={V_1+sL_1I_2 \over R_1+sL_1}$$

$$I_2={sL_1I_1 \over R_2+sL_2+sL_1}$$

Desde aquí, \$I_1\$ y \$I_2\$ puede obtenerse:

$$I_2={V_1sL_1 \over R_1+sL_1}{1 \over (R_2+sL_2+sL_1)-(sL_1)^2}$$

$$I_1={V_1\over R_1+sL_1}{1+(sL_1)^2 \over (R_1+sL_1)((R_2+sL_2+sL_1)-(sL_1)^2)}$$

Y finalmente, la función de transferencia se calcula como:

$$V_2/V_1=1-R_1I_1/V_1-R_2I_2/V_1$$