¿La propiedad P para fibras sobre puntos cerrados de un morfismo de esquemas implica la propiedad P globalmente?

Question

Sea $X \to S$ sea un morfismo de esquemas. Qué propiedades de los morfismos satisfacen: si todas las fibras $X_s \to k(s)$ sobre puntos cerrados $s \in S$ satisfacen la propiedad, entonces el morfismo $X \to S$ satisface la misma propiedad?

Por ejemplo, ¿es esto cierto (tal vez con condiciones adicionales; base conectada, etc.) para los morfismos propios? ¿Morfismos separados? ¿Morfismos suaves?

Answer 1

Quizá sea útil dividir su pregunta en dos partes:

1. ¿Cuándo es cierto que si las fibras $X_s \to {\rm Spec} \kappa (s)$ satisfacen una determinada propiedad para todos $s \in S$ , $X \to S$ satisface esta propiedad?

2. ¿Cuándo es cierto que si las fibras $X_s \to {\rm Spec} \kappa (s)$ satisfacen una determinada propiedad para todos los $s \in S$ todas las fibras cumplen esta propiedad.

La respuesta a la primera pregunta casi nunca es positiva si no se hacen suposiciones adicionales. Los dos casos principales, en los que conozco una respuesta positiva, son:

Ia. La primera es la respuesta de Francesco: Si $X \to S$ es plana (EDIT: y localmente de presentación finita) y todas las fibras son lisas (o etale), entonces $X \to S$ tiene la misma propiedad. Existen variantes para otros tipos de singularidades.

Ib. Si $X \to S$ es propia y todas las fibras son finitas, entonces $X \to S$ es finito (versión de Grothendieck del teorema principal de Zariski).

Hay variantes, como si $f\colon X \to S$ es propia, plana y de presentación finita y $X_s \to {\rm Spec} \kappa(s)$ es un isomorfismo para una $s \in S$ entonces existe una vecindad abierta $U$ de $s$ tal que $f^{-1}(U) \to U$ es un isomorfismo.

La respuesta a la segunda pregunta suele ser mucho más positiva. Existe el siguiente principio general: Supongamos que $X$ es de presentación finita sobre $S$ . Sea $C$ sea el conjunto de puntos $s \in S$ donde $X_s \to {\rm Spec} \kappa(s)$ tiene una cierta propiedad "decente $P$ . Normalmente, "decente" debería implicar al menos que se tiene una propiedad de esquemas sobre un campo que es estable bajo la extensión del campo base; así, "irreducible" no es una propiedad decente, pero "geométricamente irreducible" sí lo es.

Entonces $C$ es construible. $C$ está abierto si $X$ es además propio y plano sobre $S$ .

Por supuesto, esto no es cierto para todas las propiedades (por ejemplo, para la propiedad de ser un morfismo afín), pero sí para muchas. Muchas afirmaciones de este tipo se demuestran en EGAIV, principalmente en §9 y §12. También hay una lista bastante larga en el apéndice de mi libro con Görtz.

Por lo tanto, para responder a la segunda pregunta basta con responder a la siguiente.

1. Sea $C$ sea un subconjunto construible (resp. abierto) de un esquema $S$ que contiene el subconjunto $S_0$ de todos los puntos cerrados de $S$ . Es $C = S$ ?

En general la respuesta es no porque hay esquemas que no contienen ningún punto cerrado. Si $C$ es construible, entonces la respuesta es positiva si $S$ es de tipo finito sobre un campo o, más generalmente, si $S$ es Jacobson (por ejemplo, si $S$ es de tipo finito sobre un anillo Dedekind con infinitos ideales primos - como el anillo de los números enteros). En este caso $C \mapsto C \cap S_0$ produce una biyección entre subconjuntos construibles de $S$ y subconjuntos construibles de $S_0$ .

Si $C$ es abierto, entonces para obtener una respuesta positiva basta con tener un esquema en el que cada punto tenga un punto cerrado en su cierre. Esto es cierto para esquemas cuasicompactos (fácil de ver, ya que es cierto para esquemas afines) o esquemas localmente noetherianos (no tan fácil de ver).

Answer 2

Esto es verdadero para morfismo suave (esencialmente por definición). Pero nótese que en la definición de morfismo suave también se requiere planitud . En otras palabras, un plano es suave si y sólo si las fibras sobre puntos cerrados lo son. Véase [Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic curves, Definition 3.35 page 142]. Eliminando el supuesto de planitud la afirmación ya no es cierta, véase el comentario de MP sobre la normalización de una curva nodal.

Esto es también falso para morfismos propios: basta con considerar el caso en que $X \to S$ es una inmersión abierta. Pero es cierto bajo supuestos adicionales: véase de nuevo el libro de Liu, Observación 3.28 página 107 y las referencias que allí se dan.