Cómo demostrarlo $T-2I$ es un isomorfismo?

Question

Tengo una dificultad con la siguiente tarea, y agradecería si alguien me pudiera ayudar. Dado:

$$T: \mathbb R^3 \to\mathbb R^3,\quad T(1,2,3)=(-2,-4,-6),\quad \dim \operatorname{Im} T <\dim\ker T$$

Necesito probar: $T-2I$ es un isomorfismo

No entiendo la última parte sobre la relación del isomorfismo con los valores propios, ¿alguien puede explicarlo con detalle?

Answer 1

Pistas:

1) $\;T\neq 0\;$ y, por tanto

2) $\;\dim\text{Im}\,T=1\;,\;\;\dim\ker T=2$

3) $\;T\;$ no puede tener más de un valor propio distinto de cero

4) Uno de los valores propios de $\;T\;$ es $\;-2\;$

5) Para cualquier $\;\lambda\in\Bbb R\;,\;\;T-\lambda I\;$ es una isomorfis si $\;\lambda\;$ es no un valor propio de $\;T\;$