Una pregunta rápida sobre el logaritmo

Question

¿He hecho bien este problema?

$\log y= 10 + 2(\log x)$

$y= 10^{10} + x^2$ ?

Editar: ¿Cómo $10^{\log (x^2)}= x^2$ ? No encuentro ninguna explicación. Todos los sitios web que he encontrado ya suponen que es igual a $x^2$ . Disculpe las molestias.

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Estoy un poco perdido :(.

Answer 1

Tuviste una buena idea al plantear $10$ al poder de cada bando.

Tenga en cuenta, no obstante, que $a = b+c$ implica que $10^a = 10^{b+c} = 10^b\times 10^c$

Así que..,

$\log_{10} y = 10 + \log_{10}(x^2)$

$10^{\log_{10}y} = 10^{10+\log_{10}(x^2)} = 10^{10}\times 10^{\log_{10}(x^2)}=\dots$

Answer 2

He aquí por qué $10^{\log \left(x^2\right)}= x^2$ . Es casi exactamente la definición de logaritmo.

Definición de logaritmo: $\log_a b=c\iff a^c=b$

En este caso: $\log \left(x^2\right)=c\iff 10^c=x^2\ \ \ (1)$

Ahora recuerda: $a=b\iff 10^a=10^b$

(es porque $f(x)=10^x$ es una función estrictamente creciente).

Por lo tanto: $\log\left(x^2\right)=c\iff 10^{\log\left(x^2\right)}=10^c$ que por $(1)$ es igual a $x^2$ .

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Así que para completar el problema:

$\log(y)=10+2\log x\iff 10^{10+2\log x}=y$ (por definición).

$10^{10+2\log x}=10^{10}\cdot 10^{2\log x}$ por la propiedad del exponente: $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$ .

$10^{10}\cdot 10^{2\log x}=10^{10}\cdot 10^{\log \left(x^2\right)}$ por la propiedad del logaritmo: $b\log a=\log a^b$ .

$10^{10}\cdot 10^{\log \left(x^2\right)}=10^{10}\cdot x^2$ (véase el principio de la respuesta).

Answer 3

Recuerda que $a^{\log_a x}=a$ & $\log_a x=y$ entonces $a^y=x$ . Creo que te has equivocado, tiene que ser $y= 10^{10}\times x^2$ .

o $\log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}$ $$\log y= 10 + 2(\log x)=10+\log x^2$$ $\log y-\log x^2=10$ así $\log \dfrac{y}{x^2}=10$ entonces $\dfrac{y}{x^2}= 10^{10}$ de ahí $y= 10^{10}\times x^2$ .